El documento presenta el tema de la integral definida. Resuelve tres ejemplos de cálculo de integrales definidas aplicando las propiedades básicas. En el primer ejemplo calcula la integral de una función entre -1 y 2 dividiéndola en tres partes y aplicando sustitución y propiedades de los valores absolutos. En el segundo ejemplo resuelve de manera similar una integral entre límites -1 y √2 aplicando sustitución.

1. Universidad Nacional
Federico Villarreal
MATEMATICA
Facultad de Educación
Matemática - Física
PURA
CALCULO INTEGRAL
Toribio Córdova C.
TEMA:
INTEGRAL DEFINIDA

2. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
∫ �|𝒙| 𝟑 𝒆−𝒙 + 𝒙 �𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟐�� 𝒅𝒙
𝟐 𝟒 𝟏
−𝟏
1.
Resolución
1
𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = |𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + �
2
4
0 1 1
⇒ � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥)
−1 0 2
𝐼1 𝐼2 𝐼3
𝐼1 = ∫−1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥
0 4 1
•
−1 ≤ 𝑥 ≤0
−1 ≤ 𝑥 ≤ 0 − 1 − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3
⇒ |𝑥| = −𝑥 − 4 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3
⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥
0
1
⇒ 𝐼1 = � �(−𝑥)3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥
2
4
−1
𝐼1 = ∫−1 �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � 2 − 2𝑥�� 𝑑𝑥
0 4 13
−1 ≤ 𝑥 ≤0
0 ≤ −2𝑥 ≤2
13 13 13
≤ −2 𝑥 ≤2+
2 2 2
13 13 17
≤ −2 𝑥 ≤
2 2 2
𝟏𝟑
⇒ � − 𝟐𝒙� = 𝟔
𝟐
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 2

3. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
0 0 0
⇒ 𝐼1 = � �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥(6)� 𝑑𝑥 = − � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + � 𝑥𝑑𝑥
4 4
−1 −1 −1
A
0
𝐴 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
4
−1
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢 = −1
𝑥=0 ⟶ 𝑢=0
0
1 −𝑥 4 1 0 𝑢 1 𝑢
⇒ 𝐴=� 𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 𝑒
−1 −4 −4 −1 −4
0
-1
1 1
𝐴 = − (𝑒 0 − 𝑒 −1 ) = − (1 − 𝑒 −1 )
4 4
1 𝑥2 1
⇒ 𝐼1 = − �− (1 − 𝑒 −1 )� + 6 = (1 − 𝑒 −1 ) + 3(02 − (−1)2 )
4 2 4
0
-1
1 11 𝑒 −1
𝐼1 = (1 − 𝑒 −1 ) + 3(−1) = − −
4 4 4
𝟏𝟏 𝒆−𝟏
⇒ 𝑰𝟏 = − −
𝟒 𝟒
𝐼2 = ∫0 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥
1 4 1
•
0≤ 𝑥≤1 0≤ 𝑥 ≤1
⇒ |𝑥| = 𝑥 − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −2
⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 3

4. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
0
1
⇒ 𝐼2 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥
2
4
−1
0
13
𝐼1 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � − 2𝑥�� 𝑑𝑥
2
4
−1
0≤ 𝑥 ≤1
−2 ≤ −2𝑥 ≤0
13 13 13
−2≤ −2 𝑥 ≤
2 2 2
9 13 13
≤ −2 𝑥 ≤
2 2 2
𝟏𝟑
⇒� − 𝟐𝒙� = 𝟒
𝟐
1 1 1
⇒ 𝐼2 = � �𝑥 𝑒 3 −𝑥 4
+ 𝑥(4)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒 3 −𝑥 4
𝑑𝑥 + 4 � 𝑥𝑑𝑥
0 0 0
B
1
𝐵 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
4
0
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑥=0 ⟶ 𝑢=0
𝑥=1 ⟶ 𝑢=1
−1
1 −𝑥 4 1 0 𝑢 1 𝑢
⇒ 𝐵=� − 𝑒 (−4𝑥 𝑑𝑥) = � 𝑒 (𝑑𝑢) =
3
𝑒
4 4 −1 4
0
0
-1
1 0 1
𝐵= (𝑒 − 𝑒 −1 ) = (1 − 𝑒 −1 )
4 4
1 𝑥2 1
⇒ 𝐼2 = (1 − 𝑒 −1 ) + 4 = (1 − 𝑒 −1 ) + 2(12 − 02 )
4 2 4
1
0
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 4

5. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
1 1 −1 9 𝑒 −1
𝐼2 = − 𝑒 +2 = −
4 4 4 4
9 𝑒 −1
⇒ 𝑰𝟐 = −
4 4
𝐼3 = ∫1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥
2 4 1
•
1≤ 𝑥≤2 1≤ 𝑥 ≤2
⇒ |𝑥| = 𝑥 1−3 ≤ 𝑥−3≤2−3
−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −1
⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥
2
1
⇒ 𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥
2
4
1
2
13
𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � − 2𝑥�� 𝑑𝑥
2
4
1
1≤ 𝑥 ≤2
−4 ≤ −2𝑥 ≤ −2
13 13 13
−4≤ −2 𝑥 ≤ −2
2 2 2
5 13 9
≤ −2 𝑥 ≤
2 2 4
𝟏𝟑
⇒� − 𝟐𝒙� = 𝟐
𝟐
2 2 2
⇒ 𝐼3 = � �𝑥 𝑒 3 −𝑥 4
+ 𝑥(2)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒 3 −𝑥 4
𝑑𝑥 + 2 � 𝑥𝑑𝑥
1 1 1
C
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 5

6. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
2
𝑐 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
4
1
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢 = −1
𝑥=2 ⟶ 𝑢 = −16
2
1 −𝑥 4 1 −16 𝑢
⇒ 𝐶=� − 𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) = − � 𝑒 (𝑑𝑢)
1 4 4 −1
1 −1 𝑢 1 𝑢 1 −1
𝐶 = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 𝑒 = (𝑒 − 𝑒 −16 )
4 −16 4 4
-1
-16
1 𝑥2 1 −1
⇒ 𝐼3 = (𝑒 −1 − 𝑒 −16 ) + 2 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 2(22 − 12 )
4 2 4
2
1 −1
1
𝐼3 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 3
4
𝑒 −1 𝑒 −16
⇒ 𝑰𝟑 = − +3
4 4
11 𝑒 −1 9 𝑒 −1 𝑒 −1 𝑒 −16
⇒ 𝐼 = �− − �+� − �+� − + 3�
4 4 4 4 4 4
∴ 𝑰 = − (𝒆−𝟏 + 𝒆−𝟏𝟔 )
𝟓 𝟏
𝟐 𝟒
Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 6

7. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
𝑰 = ∫ �𝒔𝒆𝒏 � 𝝅𝒙� − 𝒔𝒆𝒏�𝒙 𝟐 � � 𝒅𝒙
√𝟐 √𝟐 𝝅
−𝟏 𝟐 𝟐
2.
Resolución
−1 ≤ 𝑥 ≤ √2
0 ≤ 𝑥2 ≤ 2
⇒ ⟦ 𝑥2 ⟧ = 0
√2
√2 𝜋
⇒ 𝐼=� �𝑠𝑒𝑛 � 𝜋𝑥� − 𝑠𝑒𝑛0. � 𝑑𝑥
−1 2 2
√2
√2
⇒ 𝐼=� 𝑠𝑒𝑛 � 𝜋𝑥� 𝑑𝑥
−1 2
√2 √2
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝜋𝑥 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝜋𝑑𝑥
2 2
𝑆𝑖 𝑥 = √2 ⟶ 𝑢= 𝜋
√2
𝑥 = −1 ⟶ 𝑢= 𝜋
2
2 √2
√2 √2 2 𝜋
⇒ 𝐼= � 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 � 𝜋𝑑𝑥� == � 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢
√2𝜋 −1 2 2 √2𝜋 −√2𝜋 2
2
⇒ 𝐼=− 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝜋
√2𝜋
√2π
−
2
2 √2𝜋 2 √2𝜋
⇒ 𝐼=− (𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 )=− (−1 − 𝑐𝑜𝑠 )
√2𝜋 2 √2𝜋 2
∴ 𝑰= (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 )
√𝟐 √𝟐𝝅
𝝅 𝟐
Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 7

8. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
𝟑�
𝑰= ∫ � 𝒚𝟐 � 𝒅𝒚
𝟐 𝟒−𝒚 𝟐 𝟐
√𝟐
3.
Resolución
4 − 𝑦2
3�
2 2
𝐼=� � 2 � 𝑑𝑦
√2 𝑦
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎:
𝑝
� 𝑥 (𝑎 + 𝑏𝑥 ) 𝑑𝑥
𝑚 𝑛
3
𝑚 = −2 , 𝑎 = 4 , 𝑏 = −1 , 𝑛 = 2 , 𝑝 =
2
𝑚+1 −2 + 1 3
+ 𝑝= + =1 ∈ℤ
𝑛 2 2
𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2
𝑡 2 = 4𝑦 −2 − 1 → 2𝑡𝑑𝑡 = −8𝑦 −3 𝑑𝑦
𝑡𝑑𝑡 = −4𝑦 −3 𝑑𝑦
𝑡𝑑𝑡
⇒ 𝐼 = � 𝑦 −2 (𝑡 2 𝑦 2 ) 2� �
3�
−4𝑦 −3
1 𝑦 −2 𝑡 3 𝑦 3 1 1
⇒ 𝐼=− � . 𝑡 == − � 𝑦 4 𝑡 4 𝑑𝑡 = − �(𝑦 2 )2 𝑡 4 𝑑𝑡
4 𝑦 −3 4 4
1 4 2
1 16 𝑡4
⇒ 𝐼 = − �� 2 � 𝑡 𝑑𝑡 == − � 2
4
𝑡 𝑑𝑡 = −4 � 2
4
𝑑𝑡
4 𝑡 +1 4 (𝑡 + 1)2 (𝑡 + 1)2
𝑆𝑒𝑎 ∶ 1 + 𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
𝑡 = 𝑡𝑔𝜃 ⟶ 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
𝑡𝑔4 𝜃 𝑡𝑔4 𝜃
⟹ 𝐼 = −4 � 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 = −4 � 𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 8

9. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
𝑡𝑔2 𝜃(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1)
⟹ 𝐼 = −4 � 𝑑𝜃 − 4 � 𝑡𝑔2 𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑡𝑔2 𝜃. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 � �𝑡𝑔2 𝜃 − . 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃� 𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 �� 𝑡𝑔2 𝜃𝑑𝜃 − � 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃�
𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃
⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔𝜃 − 𝜃) − � − �� = −4 �𝑡𝑔𝜃 − 𝜃 − + �
2 4 2 4
3𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃
⟹ 𝐼 = −4 �𝑡𝑔𝜃 − + �
2 4
� 𝑡2 + 1
t
1
3 2 𝑡 1
⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + . . �
2 4 √𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1
3 𝑡
⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + �
2 2(𝑡 2 + 1)
𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2
4
𝑡2 = −1
𝑦2
4 − 𝑦2
𝑡2 =
𝑦2
�𝟒 − 𝒚 𝟐
⟹ 𝒕=
𝒚
�4−𝑦 2
�4 − 𝑦2 3 �4 − 𝑦2 1
⟹ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + �
𝑦
𝑦 2 𝑦 2 4
𝑦2
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 9

10. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
�4 − 𝑦 2 3 �4 − 𝑦 2 𝑦�4 − 𝑦 2
⇒ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + �
𝑦 2 𝑦 8
0 3 0 √2 3 √2 √2. √2
⇒ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 � � + 2(0)� − � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + �
𝑦 2 𝑦 √2 2 √2 8
3 𝜋 1 5 3𝜋
⇒ 𝐼 = −4 �0 − (1 − . + )� = 4 � − �
2 4 4 4 8
∴ 𝑰= 𝟓−
𝟑𝝅
𝟐
Rpta
𝑰 = ∫𝟎
𝟑 𝒅𝒙
�|𝒙−𝟏|
4. 𝟑
Resolución
3
𝑑𝑥 1
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥 3
𝑑𝑥
𝐼=� =� +� +�
�|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1|
3 3 3 3
0 0 1 2
𝐼1 𝐼2 𝐼3
𝐼1 = ∫
1 𝑑𝑥
0 �|𝑥−1|
3
•
0≤ 𝑥≤1
−1 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 0
⟹ |𝑥 − 1| = 1 − 𝑥
1
𝑑𝑥
⟹ 𝐼1= �
√1 − 𝑥
3
0
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 1 − 𝑥 ⟶ 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢=0
𝑥=0 ⟶ 𝑢=1
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 10

11. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
0
−𝑑𝑢 1
−𝑑𝑢 1
3 2
⟹ 𝐼1= � =� = � 𝑢 3 𝑑𝑢 = 𝑢3
−1
√𝑢 √𝑢 2
1
3 3
1 0 0
3
0
⟹ 𝐼1= (1 − 0)
2
3
⇒ 𝑰𝟏 =
2
𝐼2 = ∫1
2 𝑑𝑥
�|𝑥−1|
• 3
1≤ 𝑥≤2
0≤ 𝑥−1≤1
⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1
2
𝑑𝑥
⟹ 𝐼2= �
√𝑥 − 1
3
1
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢=0
𝑥=2 ⟶ 𝑢=1
1
𝑑𝑢 1
3 2
⟹ 𝐼2= � = � 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢3
−1
√𝑢 2
3
1
3
0 0
3
0
⟹ 𝐼2= (1 − 0)
2
3
⇒ 𝑰𝟐 =
2
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 11

12. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
𝐼3 = ∫2
3 𝑑𝑥
�|𝑥−1|
• 3
2≤ 𝑥≤3
1≤ 𝑥−1≤2
⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1
2
𝑑𝑥
⟹ 𝐼3= �
√𝑥 − 1
3
1
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑥=3 ⟶ 𝑢=2
𝑥=2 ⟶ 𝑢=1
2
𝑑𝑢 2
3 2
⟹ 𝐼3= � = � 𝑢 3 𝑑𝑢 = 𝑢3
−1
√𝑢
3
2
2
1 1 1
3 2
⟹ 𝐼3= (23 − 1)
2
3 3
⇒ 𝑰𝟑 = ( √4 − 1)
2
𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆:
3 3 3√4 3
3
𝐼= + + −
2 2 2 2
∴ 𝑰 = �𝟏 + √ 𝟒�
𝟑 𝟑
𝟐
Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 12

13. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 a𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝑰𝒎𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒂
𝒙 𝒂
5.
∞
� � − � 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆.
𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒂 𝒙 + 𝒂
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 "a" y calcular EL VALOR DE LA INTEGRAL.
Resolución
∞
𝑥 𝑎 𝑏
𝑥 𝑎
𝐼=� � − � 𝑑𝑥 = lim � � 2 − � 𝑑𝑥
1 𝑥 2 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑏→+∞ 1 𝑥 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎
1 2𝑎
𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 � 𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| − 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|�
𝑏→+∞ 2 2
b
1
1
𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 (𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| − 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|2𝑎 )
𝑏→+∞ 2
b
1 |𝑥 2 − 3𝑎| 1 |𝑏 2 − 3𝑎| |1 − 3𝑎|
1
𝐼= 𝑙𝑖𝑚 𝐿𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 − 𝐿𝑛 �
2 𝑏→+∞ |𝑥 + 𝑎|2𝑎 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 + 𝑎|2𝑎
b
1
|𝑏 2 − 3𝑎||1 + 𝑎|2𝑎
�𝑏 2 −3𝑎�
1 1
𝐼= 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 |1−3𝑎| � = 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 �
|𝑏+𝑎|2𝑎
2 𝑏→+∞ 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎|
|1+𝑎|2𝑎
1 |𝑏 2 − 3𝑎| |1 + 𝑎|2𝑎
𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 �
2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎|
𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑏 → +∞ 𝑆𝑖 𝑎 = 1
1 |𝑏 2 − 3| (2)2 1 |𝑏 2 − 3| 4
⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 . � = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 . �
2 𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 |1 − 3| 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 2
�𝑏 2 −3�
⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 𝑏2
|𝑏+1|2
�
𝑏→+∞
𝑏2
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 13

14. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
�1 − � |1 − 0|
3
⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 𝑏2
� = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 � = 𝐿𝑛(1)
𝑏→+∞ |1 + 0|2
�1 + 𝑏�
𝑏→+∞ 1 2
∴ 𝑰= 𝟎 Rpta
𝑰 = ∫𝟎
∞ 𝒙𝒅𝒙
𝒙 𝟔 +𝟏
6.
Resolución
∞
𝑥𝑑𝑥 𝑏
𝑥𝑑𝑥
𝐼=� = lim � 6
0 𝑥6 + 1 𝑏→+∞ 0 𝑥 + 1
𝑥𝑑𝑥
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠: �
𝑥6 +1
𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥
⇒� =� 2 3
𝑥6 +1 (𝑥 ) + 1
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 2 ⟶ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥 1 2𝑥𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢
⇒� = � 2 3 = � 3 = � … (⊿)
𝑥6 + 1 2 (𝑥 ) + 1 2 𝑢 + 1 2 (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1)
1 𝐴 𝐵𝑢 + 𝐶
⇒ = + 2
(𝑢 + 1)(𝑢 2 − 𝑢 + 1) 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1
𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶)
⇒=
(𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1)
⇒ 1 = 𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶)
1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑢2 + (𝐵 + 𝐶 − 𝐴)𝑢 + (𝐴 + 𝐶)
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 14

15. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
𝐴+ 𝐵=0
1 1 2
𝐵+ 𝐶− 𝐴=0 ⇒ 𝐴= , 𝐵=− , 𝐶=
3 3 3
𝐴+ 𝐶 =1
𝑑𝑢 𝑑𝑢 − 𝑢+3
1 1 2
⇒� =� 3 +� 2 3
(𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1
1 𝑑𝑢 1 𝑢−2
⇒ � − � 2 𝑑𝑢 … … (∗)
3 𝑢+1 3 𝑢 − 𝑢+1
𝑢−2 1 2𝑢 − 4
R
⇒ 𝑅=� 𝑑𝑢 = � 2 𝑑𝑢
𝑢2 − 𝑢 + 1 2 𝑢 − 𝑢+1
1 2𝑢 − 1 𝑑𝑢
⇒ 𝑅= �� 2 𝑑𝑢 − 3 � 2 �
2 𝑢 − 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1
1 𝑑𝑢
⇒ 𝑅= �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3 � �
2
�𝑢 − 2� + 4
1 2 3
1 1 𝑢−2
1
⇒ 𝑅 = �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
2 √3 √3
2 2
1 2𝑢 − 1
⇒ 𝑅= �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
2 √3
 𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (∗)
𝑑𝑢 1 1 1 2𝑢 − 1
⇒� = 𝐿𝑛|𝑢 + 1| − . �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
(𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 3 3 2 √3
1 1 √3 2𝑢 − 1
= 𝐿𝑛|𝑢 + 1| − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �
3 6 3 √3
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 15

16. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
1 1 √3 2𝑢 − 1
= 𝐿𝑛|𝑢 + 1|2 − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �
6 6 3 √3
𝑑𝑢 1 |𝑢 + 1|2 √3 2𝑢 − 1
⇒� = 𝐿𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �
(𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 6 |𝑢 − 𝑢 + 1| 3 √3
 𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (⊿)
𝑥𝑑𝑥 1 1 |𝑢 + 1|2 √3 2𝑢 − 1
⇒� 6 = � 𝐿𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
𝑥 + 1 2 6 |𝑢 − 𝑢 + 1| 3 √3
𝑪𝒐𝒎𝒐 … . . 𝒖 = 𝒙 𝟐
𝑥𝑑𝑥 1 1 |𝑥 2 + 1|2 √3 2𝑥 2 − 1
⇒ 𝐼=� = � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
𝑥 6 + 1 2 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3
1 1 |𝑥 2 + 1|2 √3 2𝑥 2 − 1
⇒ 𝐼 = lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
𝑏→∞ 2 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3
b
0
1 1 |𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1| √3 2𝑥 2 − 1
⇒ 𝐼= lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
2 𝑏→∞ 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3
b
0
1 1 |𝑏 4 + 2𝑏 2 + 1| √3 2𝑏 2 − 1 1 √3 −1
⇒ 𝐼= lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� − � 𝐿𝑛(1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
2 𝑏→∞ 6 |𝑏 − 𝑏 2 + 1| 3 √3 6 3 √3
1 1 �1 + + √3� 2𝑏 2 − 1 √3 5𝜋
2 1
⇒ 𝐼 = lim � 𝐿𝑛 𝑏2
+
𝑏4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� − �0 + . �
2 𝑏→∞ 6 �1 − 2
+ 𝑏4 �
1 3 √3 3 6
𝑏2
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 16

17. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
1 1 √3 5√3𝜋
⇒ 𝐼 = � 𝐿𝑛(1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) − �
2 6 3 18
1 √3 𝜋 5√3𝜋 1 −2√3𝜋
⇒ 𝐼= � . − �= � �
2 3 2 18 2 18
∴ 𝑰=
−√𝟑𝝅
𝟏𝟖
Rpta
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂
𝟏
7.
𝒚= �𝒙� 𝒙 𝟐 − 𝟏 − 𝑳𝒏(𝒙 + � 𝒙 𝟐 − 𝟏)� 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙 = 𝒂 + 𝟏
𝟐
Resolución
𝑏
𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡
𝑎
𝑆𝑒𝑎 𝑥 = 𝑡
1
⇒ 𝑦 = �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛(𝑡 + � 𝑡 2 − 1)�
2
1
⇒ 𝑓(𝑡) = �𝑡, �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛 �𝑡 + � 𝑡 2 − 1���
2
• 𝑓1 (𝑡) = 𝑡 → 𝑓1´ (𝑡) = 1
𝑓2 (𝑡) = 2 �𝑡√𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛�𝑡 + √𝑡 2 − 1��
1
•
1 2𝑡 1+ 2
2𝑡
𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + 𝑡. − 2√𝑡 −1
�
2 2√𝑡 2−1 𝑡 + √𝑡 2 − 1
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 17

18. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
1 𝑡2
√𝑡 2 −1+𝑡
𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + − �
√𝑡 2 −1
2 √𝑡 2 − 1 𝑡 + √𝑡 2 − 1
1 𝑡2 √𝑡 2 − 1 + 𝑡
𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + − �
2 √𝑡 2 − 1 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�
1 (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1� + 𝑡 2 �𝑡 + √𝑡 2 − 1� − �𝑡 + √𝑡 2 − 1�
𝑓2´ (𝑡) = � �
2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�
1 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 𝑡 − √𝑡 2 − 1 + 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡
𝑓2 (𝑡) = �
´
�
2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�
1 2𝑡 3 + 2𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 2√𝑡 2 − 1 − 2𝑡
𝑓2´ (𝑡) = � �
2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�
𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡 (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1�
𝑓2´ (𝑡) = =
√𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1�
𝑡2 − 1
𝑓2´ (𝑡) = ⇒ 𝑓2´ (𝑡) = � 𝑡 2 − 1
√𝑡 2 −1
⇒ 𝑓´(𝑡) = (1, � 𝑡 2 − 1)
𝑎+1 𝑎+1
⇒ 𝐿=� ��1, � 𝑡 2 − 1�� 𝑑𝑡 = � �(1)2 + �� 𝑡 2 − 1� 𝑑𝑡
2
𝑎 𝑎
𝑎+1 𝑎+1 𝑎+1
𝑡2
⇒ 𝐿=� �1 + 𝑡 2 − 1 𝑑𝑡 = � � 𝑡 2 𝑑𝑡 = � 𝑡 𝑑𝑡 =
2
a+1
𝑎 𝑎 𝑎
1 1
a
⇒ 𝐿 = [(𝑎 + 1)2 − (𝑎)2 ] = [𝑎2 + 2𝑎 + 1 − 𝑎2 ]
2 2
∴ 𝑳 = (𝟏 + 𝟐𝒂)
𝟏
𝟐
Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 18

19. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂
𝟒
8.
𝒙= 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟑 .
𝟑
Resolución
𝑏
𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡
𝑎
4
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎: 𝑥=
3
𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎: 𝑦2 = 𝑥3
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐:
4 3 8
𝑦 = 𝑥
2 3
→ 𝑦 =� �
2
→ 𝑦=±
3 3√3
 Sea y=t
⇒ 𝑡2 = 𝑥3 → 𝑥 = � 𝑡2
3
⇒ 𝑓(𝑡) = ( � 𝑡 2 , 𝑡)
3
2
⇒ 𝑓´(𝑡) = ( , 1)
3√ 𝑡
3
2 2 2
8 8
⇒ 𝐿=� �( , 1)� 𝑑𝑡 = � �� � + (1)2 𝑑𝑡
3√3 3√3
3√ 𝑡 3√ 𝑡
3 3
− −
8 8
3√3 3√3
4
4 + 9√𝑡 2
8 8
� 3
3
⇒ 𝐿 = � � 3 + 1𝑑𝑡 = � 𝑑𝑡
3√3 3√3
−
8
3 3
9√𝑡 2 −
8
3 3
9 √𝑡 2
√ √
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 19

20. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
1
8
⇒ 𝐿=� �4 + 9 3 𝑡 2 𝑑𝑡
�
3√3
−
8 3√ 𝑡
3√3
2 −1� 𝑑𝑡 6𝑑𝑡
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 4 + 9 � 𝑡2 → 𝑢 = 4 + 9𝑡 → 𝑑𝑢 = 9. 𝑡 3 → 𝑑𝑢 = 3
2�
3
3
3
√𝑡
1 3√3 6𝑑𝑡 1
8
⇒ 𝐿 = � �4 + 9 � 𝑡 2 � 3 � = � √ 𝑢𝑑𝑢
6 −8 18
3
3√3
√𝑡
1 1 𝑢2 1
3
⇒ 𝐿= � 𝑢2 𝑑𝑢 = . 3 = � 𝑢3
1
18 18 27
2
8
1
⇒ 𝐿= ��4 + 9 3 𝑡 2 �
�
3 3√3
27 −
8
3√3
⎡ ⎤
3 3
1 8 2 8 2
⇒ 𝐿= ⎢��4 + 9 �� � � − ��4 + 9 ��− � � ⎥
3 3
27 ⎢ 3√3 3√3 ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
3 3
1 3 64 3 64 1
⇒ 𝐿= ⎢��4 + 9 � � − ��4 + 9 � � ⎥= (0)
27 ⎢ 27 27 ⎥ 27
⎣ ⎦
∴ 𝐋= 𝟎 Rpta
𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂
𝟖𝒂 𝟑
9.
𝒚= 𝟐 𝒚 𝒆𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝑿
𝒙 + 𝟒𝒂 𝟐
Resolución
8𝑎3
𝑦= , 𝑦=0
𝑥 2 + 4𝑎2
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 20

21. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
2a
𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝒀
+∞ +∞
8𝑎3 +∞
𝑑𝑥
⇒ 𝐴 = 2� 𝑦𝑑𝑥 = 2 � 𝑑𝑥 = 16𝑎3 �
0 0 𝑥 2 + 4𝑎 2
0 𝑥 2 + 4𝑎 2
𝑏
𝑑𝑥 𝑏
𝑑𝑥
⇒ 𝐴 = 16𝑎3 lim � = 16𝑎3 lim � 2
𝑏→+∞ 0 𝑥 2 + 4𝑎 2 𝑏→+∞ 0 𝑥 + (2𝑎)2
1 𝑥
⇒ 𝐴 = 16𝑎 lim 3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �
𝑏→+∞ 2𝑎 2𝑎
b
0
16𝑎3 𝑏 0
⇒ 𝐴= lim �𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � ��
2 𝑏→+∞ 2𝑎 2𝑎
⇒ 𝐴 = 8𝑎2 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)]
𝝅
⇒ 𝐴 = 8𝑎2 � �
𝟐
∴ 𝑨 = 4𝑎2 𝝅 Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 21

22. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
10. Resuelve
Ln(2 + 2 x)
1
∫0 1 + x²
dx
Resolución
1 Ln( 2) + Ln(1 + x ) 1 Ln ( 2) 1 Ln (1 + x )
∫0 1 + x²
dx = ∫
0 1 + x²
 

dx + ∫
  
0 1 + x
 ² 
dx
∗ ∗∗
1 Ln(2) 1 dx  1
1

*∫ dx = Ln(2) ∫ = Ln(2)  Arctg 
0 1 + x² 0 1 + x²

 x 0

π 
Ln(2)[ Arctg1 − Arctg 0] = Ln(2) 
4
π
Ln(2)
4
1 Ln(1 + x)
* *∫ dx
0 1 + x²
Por Partes:
Ln( x + 1) = u dx
= dv
dx 1+ x2
= du
x +1 Arctgx = v
∫ udv = uv − ∫ vdu
1 Arctgx
Ln( x + 1) Arctgx 0 − ∫
1
dx
0 x +1
[Ln(1 + 1) − Ln(0 + 1)][Arctg1 − Arctg 0] − ∫0 Arctgx dx
1
x +1
∫𝟎 𝒅𝒙 = Ln(2) + [Ln(2) − Ln(1)] − ∫0
𝟏 𝑳𝒏(𝟐+𝟐𝒙)
𝟏+𝒙 𝟐
π π 1 Arctgx
dx Rpta
4 4 x +1
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 22

23. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
11. Resuelve:
5
∫− 5
x² - 5 dx
Resolución
∫ [[x2]] + ∫  x  + ∫  
[[2 − ]]dx [[x − 2]]dx
− 2 2 5
 − 
2 2 2
dx
5
    
I1
 5 2
I2 I3
I1 = ∫ [[x − 2]]dx = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 0
− 2
5
2
− 4
− 5
− 3
− 4
− 2
− 3
= ∫ [[2 − x ]] = ∫ 0dx + ∫ 1dx + ∫ 1dx + ∫
2 − 1 0 1 2
2
I2 dx 0dx
5 − 2 − 1 0 1
= ∫ [[x − 2]] = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 2dx
5 3 4 3
2
I3 dx
2 2 3 4
I = I1 + I 2 + I 3
I = 3,48
∴ 𝑰 = 𝟑, 𝟒𝟖 Rpta
12. Resuelve:
π (2 x − π ) dx
∫ 0 Senx + 4
Resolución
π x −π 2
2∫ dx
0 Senx + 4
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 23

24. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
Cambio de Variable
u = x −π 4
x = 0 ⇒ u −π 2
x =π ⇒u =π 2
π π
u x
2∫ π2 du = 2 ∫ 2
π dx
−
2
Cosu + 4 − Cosx + 4
2 x es variable nula
Sea:
x
F( x ) =
cos x + 4 Viendo simetrías
x → −x
x es anti simétrica con respecto al eje y
F(− x ) = − = − F( x )
cos x + 4
π
x 0 x
∫0
2
Cosx + 4
dx = − ∫ π
− cos x + 4
2
dx
π
x 0 x
∫0
2
Cosx + 4
dx + ∫ π
− cos x + 4
2
dx = 0
π
x
2 ∫π2 dx = 0
2
Cosx + 4
π (2 x − π ) dx = 0
∫0 Senx + 4
∴ ∫𝟎 𝒅𝒙 = 𝟎
𝝅 𝟐𝒙−𝝅
𝒔𝒆𝒏 𝒙+𝟒
Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 24

25. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
13. Resolver:
π
Sen²x Cosx
∫ 0
2
25 - 16Sen²x
dx
Resolución
senx = u
cos xdx = du
π π
u 2 du u 2 du
∫
0
2
25 - 16u 2
=∫ 2
0
(5)2 - (4u )2
Sustitución Trigonométrica:
4u  4u 
= senθ → arcsen  = θ
5  5 
5
u = senθ
4
5
du = cos θdθ
4
25 5
π sen 2θ . cos θdθ
∫02 16 (5)2 − (5senθ )2
4
π
64 2 sen 2θ cos θdθ
125 ∫0 5 2 1 − sen 2θ ( )
 
 
COS ϑ 2
π
64 2 sen θ cos θdθ 2
125 ∫0 5 cos θ
π
64 2
∫0 sen θ dθ
2
625
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 25

26. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
π π
 
64 θ 2 sen2θ 2 
−
625  2 4 0
 
0
π
 π 
   4u  2 
 4u  2  2 25 − 16u
2
 
 arcsen   5  5  
64   5  −  
625  2 4 
 
 0 


0


π
 π 
  2 25 − 16 sen x  4 senx  2 
2 
 4 senx  2
 
 arcsen   5  5    
64   5  − 
625  2 4 
 
 0 


0



   2 25 − 16 sen π  
  π   4 sen π  
 4 sen 
 arcsen 2  
 2  2


     5   2 25 − 16 sen0  4 sen0   
 5  arcsen 4 sen0    5  
          5   
64   −  5     
−  5   


625  2 2 − 4 4 
   
  
 
  
  
  
  
   2 25 − 16(1)  4(1)   2 25 − 16(0)  4(0)   
 arcsen 4(1)  arcsen 4(0)        
64 
      5     5   

 5 −  5   −  5  5 
 − 
625  2 2   
4 4

   
   

   2(3)  4(1)   2(5)  4(0)   
       
64  53 0    5  5   5  5    64  53   24  
 − − −  =  −
625  2 2   
  625  2   20  
  4 4   
  
  
64
(25.3) = 2.59
625
∴ ∫𝟎 𝐝𝐱 = 𝟐, 𝟓𝟗
𝛑/𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱.𝐜𝐨𝐬𝐱
� 𝟐𝟓−𝟏𝟔𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱
Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 26

27. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
14. Resolver.
∞ dx
∫ (1 + x )
0 3
Ln (1 + x )
Resolución
1 + x = et
dx = e t dt
−1
∞ e t dt ∞
∫ ∫
−2t
= e t 2
dt
0 e 3t t 0
⇒ 2t = u
2dt = du
dt = du 2
−1
−1
∞  u  −u du
2 2 ∞
∫0
  e
2 u
=
2 ∫
0
u e −u du
2
1
2 ∞ −1
2 ∫0
u 2
e −u du
Por Gamma
2 1 2 π
γ  ⇒ π =
2 2 2 2
∴ ∫𝟎 =�
∞ 𝐝𝐱 𝛑
(𝟏+𝐱) 𝟑 �𝐋𝐧(𝟏+𝐱) 𝟐
Rpta
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 27

28. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
15. Resolver.
( x − 1)
1
∫0 x Lnx dx
Resolución
( x − 1) ( x − 1) 1 ( x − 1)
1
1
∫0 x Lnx
dx = ∫ 2
0 x Lnx
dx + ∫1
x Lnx
dx
 
  2
A B
( x − 1)
1
A=∫ 2
dx ; para darle forma del corolario, hacemos:
0 x Lnx
x=-t
dx=-dt x t
0 0
1/2 -1/2
0 − (t + 1) 0 − ( x + 1)
→ A = ∫−1 dt = ∫−1 dx
2 − t Ln(− t ) 2 − x Ln(− x )
Sea:
− (t + 1)dt −1
f (x) = y g (x) = son continuos para x ∈ [− 1 2 ;0)
− t ln (− t ) −x
sobre [− 1 2 ;0 ) , f (x ) 〉0 y g (x ) 〉0 y además:
lim f (x ) = ∞ y lim g (x ) = ∞
x →o x →o
luego:
f (x) − ( x + 1)
lim = lim =0
x →o g (x) x →o ln(− x )
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 28

29. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
como:
1 0
0 2
∫−1
2
g ( x ) dx = − 2(− x) 2
−1
=
2
converge
2
0 0 − ( x + 1)dx
⇒ A = ∫−1 f ( x ) dx = ∫−1 converge
2 2 − x ln(− x)
1 ( x − 1)
→ B = ∫1 dx
2 x Lnx
Sea:
(x − 1) −1
P( x ) = y G( x ) =
x(ln x )
1
x ln x 3
f y g son continuos en [− 1 2 ;0 ) , f (x ) 〉0 y g ( x ) 〉 0 ∀x ∈ [1 2;1) y además
lim f (x ) = ∞ y lim g ( x ) = ∞
x →1− −
x →1
luego:
f (x) − x ( x − 1)
lim−
= lim− 2
x →1 g (x) x →1
3
(ln x)
como es de la forma %, aplicamos Hospital
f (x) 3 2 1 1 
3 1
1 1 dx
lim = lim − (ln x)  x − x 2  = 0 y como
2 2 
3
∫1 g ( x )dx = − ∫1
x(ln x )
− 1
x →1 g (x) x →1−
  2 2 3
Hacemos:
u=lnx
du=1/x dx
0
( ( ))
2
1 0 du 3u 3 3 2
→ ∫1 g ( x ) dx = − ∫ 1 =− = ln 1 3
converge
ln   1
2 2 2
2 2 3
u ln(1 / 2 )
1 1 ( x − 1)
→ B = ∫1 f ( x ) dx = ∫1 dx converge
2 2 x Lnx
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 29

30. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
como
I=A + B
∴ I = converge Rpta
16. Mediante Gamma.
π
∫ [LnCsc(2t )] Cos (2t )dx
4 n −1
0
Resolución
π
∫0 [LnCsc(2t )] d (sen2t )
1 4 n −1
2
sen 2t = u
t →0 π
t →
4
u→0
u →1
1 1
2
[ ( )]
∫0 Ln u
−1 n −1
d (u )
u = e− y
u → 0 u →1
du = −e − y dy y → ∞ y → 0
1 o
2
[
∫∞ − − Ln e
y
( )] n −1
e − y dy
1 ∞ n−1 − y
2 ∫0
y e dy
Γ(n )
1
∴ ∫𝟎 [ 𝑳𝒏𝑪𝒔𝒄( 𝟐𝒕)] 𝒏−𝟏 𝑪𝒐𝒔( 𝟐𝒕) 𝒅𝒙 = 𝚪(𝒏) Rpta
2
𝝅
𝟒
𝟏
𝟐
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 30

31. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
17. Resolver con Beta o Gamma
5 dx
∗∫
2 (x + 2)(5 − x )
Resolución
Dando la forma de la función Beta
−1 −1
∫ (x − 2) (5 − x )
5
2 2 dx
2
Hacemos:
x−2=u x→2 x→5
x=u+2 u →5 u →3
dx = du
−1 −1
∫2 (u ) 2 (3 − u ) 2 du
3
Hacemos otro cambio
u→0 u→3
u = 3t
t →o y →1
du = 3dt
−1 −1 −1
(t ) 2 (3 − 3t ) 2 3dt
1
∫0
3 2
−1 −1
∫ (t ) (1 − t ) dt = ∫ (t ) (1 − t )
1 1 4 4
−1 −1
2 2 2 2 dt
0 0
I =B 1 ;1
2 2
( )
Γ(m )Γ(n )
B(m; n ) =
Propiedad: Γ(m + n )
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 31

32. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
I =B 1 ;1 =( ) 2
( )( )
Γ 1 Γ 1
2
2 2 Γ(1)
( 2) = π
Γ1
Sabemos: Γ(1) = 1
I =π
∴ ∫𝟐 = 𝝅
𝟓 𝒅𝒙
�(𝒙+𝟐)(𝟓−𝒙)
Rpta
18. Resolver
1 x3
∗∫ dx
0  x3 
1 -
 5 x 

 
Resolución
−1
x3 x3
dx = ∫ x 1 − x 5 
1 1 1 14
∫0  x 3 dx = ∫
2
 
3
dx
 0   
1 - x 5 
14 0
  
1 - 5 x   
 
Haciendo la sustitución:
14 5
x 5 =t → x=t 14
14 9 5 x →1 x → o
x dx = dt t →1 y → o
5
5 −914
dx = t dt
14
5 −914
∫ t (1 − t )
1 15 −1
14 2 t dt
0 14
 10 1  5
∫0 t (1 − t ) 2 dt = B 7 ; 2  14
5 1 37 −1
14  
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 32

33. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
 10   1 
Γ Γ 
5  10 1 
B ;  =    
7 2 5
14  7 2   27  14
Γ 
 14 
3 3 1 3
Γ Γ  Γ 
7 7 2 5 5 6 7
= π
13  13  14 14 13  13 
Γ  Γ 
14  14   14 
5 Γ(3 7 )
π
91 Γ(13 14 )
∴ ∫𝟎 𝒅𝒙 = √ 𝛑
𝟏 𝒙𝟑 𝟓 𝚪(𝟑⁄ 𝟕)
(𝟏−
𝒙𝟑 𝟗𝟏 𝚪(𝟏𝟑⁄ 𝟏𝟒)
𝟓 )
Rpta
√𝒙
19. Hallar la longitud de la curva:
1 1
θ= r + 
2 r entre r=2 y r=4
Resolución
Parametrizando:
1 1
r →t → θ = 1 + 
2 t
dr → dt
dθ 1 1 
dr = 1 − 2 
=1 dt 2 t 
dt
t ∈ [2;4]
Sabemos:
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 33

34. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009
2  dθ 
2 2
4  dr 
L= ∫
2
  +r 
 dt 
 dt
 dt 
2
1 1 
∫ (1)
4
L= + t  − 2  dt
2 2
2
 2 2t 
2 2
4 1 t   1 
L= ∫
2
+  +
2 2
 dt
 2t 
2
4  t 2 +1
L= ∫
2  4t 2  dt




t 2 +14 4 1 1
L= ∫2 2t dt = ∫2 2 t + 2t dt
1  t 2   1
4
1 4 1
L = ∫  t + dt =   + ln t
  = [6 + ln 2]
4
2 2 t 2  2  2

2
 2
 
ln 2
L = 3+
2
∴ 𝐋= 𝟑+
𝐋𝐧𝟐
𝟐
Rpta
20. Hallar la siguiente integral
𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝝅
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝝅
� 𝒅𝒙 𝑺𝒊 � 𝒅𝒙 = 𝒎
𝟐
𝟎 𝒙+ 𝟏 𝟎 (𝒙 + 𝟐) 𝟐
Resolución
𝑥=0 → 𝑦=0
1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑥 = 𝑦
𝜋
� 𝑑𝑥 ; 𝜋
2 0 𝑥+1 𝑑𝑥 = 𝑥= → 𝑦= 𝜋
𝑑𝑦
•
2 2
•
Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 34