Presentasjon til gjennomgang av vektorer på koordinatform.

1. Vektorkoordinater
Stord Vidaregåande Skule
28. august 2008

2. Vektorer i koordinatsystemet
På figuren under har vi tegnet inn tre vektorer q, ex og ey .
5
4
q
3
2
1
ey
ex 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3 −2 −1
−1
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

3. Vektorer i koordinatsystemet
På figuren under har vi tegnet inn tre vektorer q, ex og ey .
5
4
q
3
2
1
ey
ex 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3 −2 −1
−1
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

4. Vektorer i koordinatsystemet
4
q
2
ey
ex
3 6 9
−3
Vi kan beskrive vektor q ved at den får 3 enheter øst og 4
enheter nord. Dette kan vi uttrykke ved hjelp av ex og ey :
q = 3ex + 4ey
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

5. Vektorer i koordinatsystemet
4
q
2
ey
ex
3 6 9
−3
Vi kan beskrive vektor q ved at den får 3 enheter øst og 4
enheter nord. Dette kan vi uttrykke ved hjelp av ex og ey :
q = 3ex + 4ey
Vi skriver dette forenklet slik:
q = 3ex + 4ey = [3, 4]
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

6. Oppgave
Skriv vektorene på koordinatform:
b
a = [3, 2]
e
4
a
c
2
d
2 4 6 8
−2
−2
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

7. Oppgave
Skriv vektorene på koordinatform:
b
a = [3, 2]
e
4
a b = [3, 0]
c
2
d
2 4 6 8
−2
−2
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

8. Oppgave
Skriv vektorene på koordinatform:
b
a = [3, 2]
e
4
a b = [3, 0]
c = [0, 3.5]
c
2
d
2 4 6 8
−2
−2
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

9. Oppgave
Skriv vektorene på koordinatform:
b
a = [3, 2]
e
4
a b = [3, 0]
c = [0, 3.5]
c
2 d = [−4, 2]
d
2 4 6 8
−2
−2
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

10. Oppgave
Skriv vektorene på koordinatform:
b
a = [3, 2]
e
4
a b = [3, 0]
c = [0, 3.5]
c
2 d = [−4, 2]
e = [3, −1]
d
2 4 6 8
−2
−2
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

11. Regneregler
Setning:
Følgende regneregler gjelder for vektorer på
koordinatform:
[a, b] = ex + ey (1)
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] (2)
r[a, b] = [r · a, r · b] (3)
0 = [0, 0] (4)
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

12. Regneregler
Setning:
Følgende regneregler gjelder for vektorer på
koordinatform:
[a, b] = ex + ey (1)
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] (2)
r[a, b] = [r · a, r · b] (3)
0 = [0, 0] (4)
Eksempel:
[2, 1] + [4, 3] = 2ex + ey + 4ex + 3ey = (2 + 4)ex + (1 + 3)ey = [6, 4]
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

13. Regneregler
Setning:
Følgende regneregler gjelder for vektorer på
koordinatform:
[a, b] = ex + ey (1)
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] (2)
r[a, b] = [r · a, r · b] (3)
0 = [0, 0] (4)
Eksempel:
[2, 1] + [4, 3] = 2ex + ey + 4ex + 3ey = (2 + 4)ex + (1 + 3)ey = [6, 4]
r[a, b] = r(aex + bey ) = r · aex + r · bey = [ra, rb]
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

14. Posisjonsvektor
Har vi et punkt P i planet, får vi umiddelbart en vektor fra
−
→
origo O til P: OP
−
→
Dersom P har koordinater (a, b), så vil vektoren OP være
−
→
gitt ved OP = [a, b].
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

15. Posisjonsvektor
Har vi et punkt P i planet, får vi umiddelbart en vektor fra
−
→
origo O til P: OP
−
→
Dersom P har koordinater (a, b), så vil vektoren OP være
−
→
gitt ved OP = [a, b].
−→
Gitt to punkt P(a, b) og Q(c, d). Hva er koordinatene til PQ?
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

16. Posisjonsvektor
Har vi et punkt P i planet, får vi umiddelbart en vektor fra
−
→
origo O til P: OP
−
→
Dersom P har koordinater (a, b), så vil vektoren OP være
−
→
gitt ved OP = [a, b].
−→
Gitt to punkt P(a, b) og Q(c, d). Hva er koordinatene til PQ?
−→− →− →
Vi kan skrive PQ = PO + OQ. Vi minner om at
−
→ −→
P0 = −OP = −[a, b]
Derfor blir
−
→− →− →
PQ = PO + OQ = −[a, b] + [c, d] = [c − a, d − b]
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

17. Vektor mellom to punkt
Eksempel
−
→
Gitt punktene A(3, 11) og B(−2, 8). Finn koordinatene til AB
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

18. Vektor mellom to punkt
Eksempel
−
→
Gitt punktene A(3, 11) og B(−2, 8). Finn koordinatene til AB
Vi subtraherer koordinatene til den «første» fra
koordinatene til den «andre»:
−
→
AB = [−2 − 3, 8 − 11] = [−5, −3]
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

19. GeoGebra
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

20. Midtpunkt
To punkter P(6, 1) og Q(1, 4) danner et linjestykke. Vi
ønsker å finne koordinatene til midtpunktet E.
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

21. Midtpunkt
To punkter P(6, 1) og Q(1, 4) danner et linjestykke. Vi
ønsker å finne koordinatene til midtpunktet E.
Vi observerer at
−→− → 1− →
OE = OP + 2 PQ. Vi vil derfor
4Q −
→
først finne PQ.
E
2
P
2 4 6
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

22. Midtpunkt
To punkter P(6, 1) og Q(1, 4) danner et linjestykke. Vi
ønsker å finne koordinatene til midtpunktet E.
Vi observerer at
−→− → 1− →
OE = OP + 2 PQ. Vi vil derfor
4Q −
→
først finne PQ.
E
2
P
2 4 6
−
→− →− → −
→− →
PQ = PO + OQ = −OP + OQ = −[6, 1] + [1, 4] = [−5, 3]
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

23. Midtpunkt
To punkter P(6, 1) og Q(1, 4) danner et linjestykke. Vi
ønsker å finne koordinatene til midtpunktet E.
Vi observerer at
−→− → 1− →
OE = OP + 2 PQ. Vi vil derfor
4Q −
→
først finne PQ.
E
2
P
2 4 6
−
→− →− → −
→− →
PQ = PO + OQ = −OP + OQ = −[6, 1] + [1, 4] = [−5, 3]
Dette gir oss derfor:
→ 1− 1
−
→− →
OE = OP + PQ = [6, 1] + [−5, 3] = [6 − 2 , 1 + 3 ] = [ 7 , 2 ]
5 5
2 2
2 2
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater

24. Midtpunkt
To punkter P(6, 1) og Q(1, 4) danner et linjestykke. Vi
ønsker å finne koordinatene til midtpunktet E.
Vi observerer at
−→− → 1− →
OE = OP + 2 PQ. Vi vil derfor
4Q −
→
først finne PQ.
E
2
P
2 4 6
−
→− →− → −
→− →
PQ = PO + OQ = −OP + OQ = −[6, 1] + [1, 4] = [−5, 3]
Dette gir oss derfor:
→ 1− 1
−
→− →
OE = OP + PQ = [6, 1] + [−5, 3] = [6 − 2 , 1 + 3 ] = [ 7 , 2 ]
5 5
2 2
2 2
Altså er koordinatene til E lik ( 2 , 5 ).
7
2
Tor Espen Kristensen Vektorkoordinater