SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  13
Télécharger pour lire hors ligne
Chuyên đề:         MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

                                    Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO

Kỹ thuật 1:           SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI.

Kết hợp thủ thuật :    Tách, ghép và phân nhóm

Bài 1:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3
Chứng minh rằng:
                             a3                b3            c3        3
                                      +                +             ≥          (1)
                       (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4


Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
  Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.

Bài giải:
Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế
                            a3                b3               c3         (a + b + c)
               (1) ⇔                    +             +                ≥
                     (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b)              4
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
                             a3            a+b a+c          ⎛       a3     ⎞ ⎛ a + b ⎞ ⎛ a + c ⎞ 3a
                                                                           ⎟⎜
                                         +     +       ≥ 33 ⎜
                                                            ⎜              ⎟
                                                                           ⎟⎜        ⎟⎜
                                                                                     ⎟⎝        ⎟=
                                                                                               ⎟
                      (a + b ) ( a + c )    8      8        ⎜(a + b)(a + c)⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎜ 8 ⎠
                                                            ⎜
                                                            ⎝              ⎟⎜        ⎟            4
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                    b3          b+c b+a      ⎛      b3       ⎞ ⎛ b + c ⎞⎛ b + a ⎞ 3b
                                                             ⎟⎜
                              +    +         ⎜
                                        ≥ 33 ⎜               ⎟         ⎟⎜       ⎟
              (b + c)(b + a )    8   8       ⎜
                                             ⎝
                                                             ⎟⎜
                                                             ⎟⎝        ⎟
                                                                       ⎟⎜
                                             ⎜(b + c)(b + a )⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠       ⎟= 4
                                                                                ⎟

                      c3          c+a c+b      ⎛       c3      ⎞ ⎛ c + a ⎞ ⎛ c + b ⎞ 3c
                                                               ⎟⎜
                                +    +    ≥ 33 ⎜               ⎟         ⎟⎜
                                               ⎜(c + a )(c + b)⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ = 4
                                               ⎜               ⎟⎝        ⎟⎜        ⎟
                                                                                   ⎟
                                                                                   ⎟
              ( c + a ) (c + b)    8   8       ⎜
                                               ⎝               ⎟
Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt:
              a3                 b3                  c3   a+b+c  3
                         +                  +           ≥       = (đpcm)
        (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b)      4    4
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
               a3               b3               c3     3
                        +               +             ≥
        (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4

Bài 2:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng:
            a2        b2          c2      a+b+c
                  +         +           ≥
        a + bc b + ca c + ab                 4
Bài 3:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
          a2        b2         c2     3
                 +       +          ≥
        b+c c+a a+b 2
Bài toán có liên quan:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
               1           1              1      3
                    + 3            + 3         ≥
        a ( b + c ) b ( c + a ) c (a + b ) 2
          3


Bài 4:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
            a3          b3           c3     1
                 2 +            +         ≥
        (b + c)      (c + a )2
                                  (a + b) 4


Bài 2:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3
Chứng minh rằng:
                           a3          b3           c3
                                  +           +            ≥ 1 (1)
                       b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c)

Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
  Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải:
Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế
                  a3            b3            c3     a+b+c
       (1) ⇔              +             +          ≥
              b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c)          3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
9a 3                           ⎛ 9a 3 ⎞     ⎟
                           + 3b + (2c + a ) ≥ 3 3 ⎜            ⎟
                                                  ⎜ b (2c + a )⎠ (3b)(2c + a ) = 9a
                                                  ⎜            ⎟
               b (2c + a )                        ⎝            ⎟

Chứng minh tương tự ta cũng được:
                   9b3                          ⎛ 9b3 ⎞     ⎟
                                                ⎜
                          + 3c + (2a + b) ≥ 3 3 ⎜           ⎟
               c (2a + b)                       ⎜ c (2a + b)⎠ (3c)(2a + b) = 9b
                                                ⎜
                                                ⎝
                                                            ⎟
                                                            ⎟

                   9c 3                         ⎛ 9c3       ⎞
                                                            ⎟
                                                ⎜
                          + 3a + (2b + c) ≥ 3 3 ⎜           ⎟
               a (2b + c)                       ⎜ a (2b + c)⎠ (3a )(2b + c) = 9c
                                                ⎜
                                                ⎝
                                                            ⎟
                                                            ⎟
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
          ⎡     a3            b3         c3   ⎤
         9⎢            +            +         ⎥ + 6 (a + b + c) ≥ 9 (a + b + c)
          ⎢ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) ⎥
          ⎣                                   ⎦
                a3          b3         c3       a+b+c
         ⇒             +          +           ≥       =1
            b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c)     3
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Bài 3:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh rằng:
                         a3       b3         c3      1
                              +         +         ≥
                       b + 2c c + 2a a + 2b 3

Bài giải:
Sử dụng giả thiết a 2 + b2 + c2 = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế
                 a3        b3        c3      a 2 + b2 + c 2
       (1) ⇔           +        +         ≥
              b + 2c c + 2a a + 2b                 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
               9a 3                        9a 3
                       + a ( b + 2c ) ≥ 2        .a (b + 2c) = 6a 2
             (b + 2c)                     b + 2c
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                  9b 3                       9b3
                         + b (c + 2a ) ≥ 2        .b (c + 2a ) = 6b2
               (c + 2a )                   c + 2a
                 9c3                         9c3
                         + c (a + 2b) ≥ 2          .c (a + 2ab) = 6c2
              (a + 2b)                    (a + 2b)
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
⎛    3
                     b3     c3 ⎞
          ⎜ a
         9⎜       +      +       ⎟
                                 ⎟ + 3 (ab + bc + ca ) ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 )
                                 ⎟
          ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠
          ⎝
            ⎛    3
                       b3     c3 ⎞
            ⎜ a                    ⎟
                                   ⎟ ≥ 6 (a + b + c ) − 3 (ab + bc + ca ) ≥ 3 (a + b + c )
                                           2   2   2                            2   2   2
         ⇒ 9⎜       +      +       ⎟
            ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠
            ⎝
              a3       b3        c3      a 2 + b 2 + c2   1
         ⇒         +         +         ≥                =
            b + 2c c + 2a a + 2b                3         3
                                     3
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
                                    3
Bài tập tương tự
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh rằng:
                        a3       b3       c3       1
                             +         +       ≥
                       a+b b+c c+a 2

Bài 4:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng:
                           a         b          c       3
                                +          +         ≤     (1)
                        1+a   2
                                   1+b   2
                                               1+c 2
                                                        2

Hướng dẫn:

+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện
Bài giải:
Sử dụng giả thiết ab + bc + ca = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
                  a                a                 a   a   1⎛ a       a ⎞⎟
                       =                    =          .    ≤ ⎜⎜     +     ⎟
                                                                           ⎟
               1+a   2       2
                           a + ab + bc + ca         a+b a+c  2 ⎜a + b a + c⎠
                                                               ⎝
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                  b      1⎛ b
                           ⎜         b ⎞⎟
                       ≤ ⎜         +    ⎟
                                        ⎟
               1+b   2
                         2 ⎜b + c b + a⎠
                           ⎝
                   c       1⎛ c            c ⎞
                                             ⎟
                        ≤ ⎜  ⎜c + a + a + b⎠
                             ⎜               ⎟
                                             ⎟
                1+c    2
                           2⎝
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
            a            b          c        1 ⎛a + b b + c c + a ⎞ 3
                                                                  ⎟=
                  +            +            ≤ ⎜⎜     +     +      ⎟
                                                                  ⎟
          1+a   2
                      1+ b   2
                                   1+ c  2
                                             2 ⎜a + b b + c c + a ⎠ 2
                                               ⎝
                                    3
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
                                   3
Bài 5:

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
                 ab            bc       ac
       S=               +           +
               2c + ab      2a + bc   2b + ac

Bài giải:

Ta lần lượt có:
⎧
⎪    ab                 ab                   ab          ab ⎛ 1     1 ⎞
⎪
⎪                                                           ⎜           ⎟
⎪ 2c + ab = c (a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) ≤ 2 ⎜ c + a + c + b ⎠
⎪                                                           ⎜
                                                            ⎝
                                                                        ⎟
                                                                        ⎟
⎪
⎪
⎪
⎪    bc                 bc                   bc             ⎛
                                                         bc ⎜ 1      1 ⎞
⎪
⎨            =                       =                 ≤          +      ⎟
                                                            ⎜            ⎟
                                                                         ⎟
⎪ 2a + bc
⎪                a (a + b + c) + bc     (a + b)(a + c)    2 ⎜a + b a + c⎠
                                                            ⎝
⎪
⎪
⎪
⎪    ca                 ca                   ca          ca ⎛ 1      1 ⎞
                                                            ⎜            ⎟
⎪ 2b + ac = b (a + b + c) + ca = (b + c)(b + a ) ≤ 2 ⎜ b + c + b + a ⎠
⎪
⎪
                                                            ⎜
                                                            ⎝
                                                                         ⎟
                                                                         ⎟
⎪
⎩
         bc + ca     bc + ab    ca + ab    a+b+c
⇒S≤               +           +          =           =1
        2 (a + b) 2 (c + a ) 2 (c + b)          2
                                   2
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
                                   3
Vậy Max S = 1 .

Bài tập tương tự

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2
Chứng minh rằng:
                   ab          bc         ac      1
                          +          +          ≤
                  c + ab      a + bc     b + ac   2

Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ.
Dạng 1:
      1) ∀x, y > 0 ta luôn có:
                        ⎛1 1⎞  ⎟
                        ⎜
               ( x + y)⎜ + ⎟ ≥ 4
                        ⎜x y⎠
                        ⎝      ⎟
         Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y
         2) ∀x, y, y > 0 ta luôn có:
                                ⎛1 1 1⎞
                   ( x + y + x )⎜ + + ⎟ ≥ 9
                                ⎜     ⎟
                                      ⎟
                                ⎜
                                ⎝x y y⎠
         Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z
Dạng 2:
      1) ∀x, y > 0 ta luôn có:
                 1 1         4
                   + ≥
                 x y x+y
      Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y
      2) ∀x, y, z > 0 ta luôn có:
                 1 1 1            9
                   + + ≥
                 x y z x+y+z
      Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z


Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:
                    ab            bc          ca    a+b+c
                            +           +         ≤
               a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b       4


Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
                   ab                     1               1⎛ 1       1 ⎞⎟
                           = ab.                     ≤ ab. ⎜⎜     +     ⎟
                                                                        ⎟
               a + b + 2c        (a + c) + (b + c)        4 ⎜a + c b + c⎠
                                                            ⎝
Tương tự ta cũng được:
                   bc                     1               1⎛ 1       1 ⎞ ⎟
                           = bc.                     ≤ bc. ⎜⎜     +      ⎟
                                                                         ⎟
               b + c + 2a        (b + a ) + (c + a )      4 ⎜b + a c + a ⎠
                                                            ⎝
                   ca                    1                1⎛ 1
                                                           ⎜          1 ⎞⎟
                           = ca.                   ≤ ca. ⎜ ⎜c + b + a + b⎠
                                                                         ⎟
                                                                         ⎟
              c + a + 2b         (c + b) + (a + b)        4⎝
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
           ab              bc            ca        1 ⎛ bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c
                                                                               ⎟=
                   +              +             ≤ ⎜  ⎜        +         +      ⎟
                                                                               ⎟
       a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 ⎜ a + b    ⎝            b+c      a+c ⎠     4
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0

Bài 2:
Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:
                     ab           bc         ca       a+b+c
                           +              +         ≤
                a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b     6


Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
                   ab                         1                 1⎛ 1
                                                                 ⎜           1      1⎞⎟
                            = ab.                          ≤ ab. ⎜
                                                                 ⎜ a + c + b + c + 2b ⎠
                                                                                      ⎟
                                                                                      ⎟
               a + 3b + 2c        (a + c) + (b + c) + 2b        9⎝
Tương tự ta cũng được:
                    bc                        1                 1⎛ 1         1     1⎞ ⎟
                            = bc.                          ≤ bc. ⎜
                                                                 ⎜ b + a + c + a + 2c ⎠
                                                                 ⎜                    ⎟
                                                                                      ⎟
               b + 3c + 2a        (b + a ) + (c + a ) + 2c      9⎝
                    ca                      1                1⎛ 1
                                                               ⎜         1    1⎞⎟
                           = ca.                        ≤ ca. ⎜⎜      +     + ⎟ ⎟
               c + 3a + 2b       (c + b) + (a + b) + 2a      9 ⎝ c + b a + b 2a ⎠
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

    ab          bc           ca     1 ⎜ a + b + c bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c
                                      ⎛                                   ⎟
           +           +           ≤ ⎜           +       +       +        ⎟=
                                                                          ⎟
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 9 ⎜
                                      ⎝     2      a+b     b+c     a+c ⎠        6

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0

Bài 3:
                                1 1 1
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn+ + = 4 .Chứng minh rằng:
                                a b c
                    1          1          1
                          +          +           ≤1
               2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c

Bài giải:
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
                  1                 1           1⎛ 1
                                                  ⎜      1 ⎞
                                                           ⎟ ≤ 1 ⎛ 2 + 1 + 1⎞
                                                                            ⎟
                         =                   ≤ ⎜  ⎜    +   ⎟     ⎜          ⎟
             2a + b + c (a + b) + (a + c) 4 ⎝ a + b a + c ⎠ 16 ⎜ a b c ⎠
                                                           ⎟     ⎝          ⎟
                 1              1         1⎛ 1
                                            ⎜         1 ⎞ ⎟    1 ⎛ 1 2 1⎞    ⎟
                       =                 ≤ ⎜       +             ⎜
                                            ⎜             ⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠
                                                          ⎟
             a + 2b + c (a + b) + (b + c) 4 ⎝ a + b b + c ⎠      ⎝           ⎟
                                                                             ⎟
                   1                 1           1⎛ 1
                                                   ⎜       1 ⎞
                                                             ⎟    1 ⎛ 1 1 2⎞    ⎟
                          =                  ≤ ⎜       +            ⎜
                                                   ⎜
              a + b + 2c (a + c) + (b + c) 4 ⎝ a + c b + c ⎠ ⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠
                                                             ⎟      ⎝           ⎟
                                                                                ⎟
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
      1              1             1        1 ⎛ 1 1 1⎞ 1⎟
              +             +                 ⎜
                                        ≤ ⎜ + + ⎟ = .4 = 1
                                                        ⎟
2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c 4 ⎝ a b c ⎠ 4
                                   3
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b =
                                   4
Bài 4:
Cho a,b là các số dương thỏa mãn a + b < 1 .Chứng minh rằng:
                         1       1      1        9
                             +        +      ≥
                       1−a 1− b a + b 2

Nhận xét : (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) = 2
Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:
                     1        1       1                   9                 2
                         +        +       ≥                              = (đpcm)
                   1 − a 1 − b a + b (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) 9
                                   1
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b =
                                    3
Bài toán có liên quan:
Cho a,b là các số dương thỏa mãn a + b < 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
                             a2       b2               1
                       S=         +       +a+b+
                            1−a 1− b                a+b
                   5
Kết quả: min S =
                   2
Bài 5:
Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 .Chứng minh rằng:
                         1       1       1     9
                             +       +      ≥
                       1+a 1+b 1+c 4

Nhận xét : (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) = 4
Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:
                     1        1       1           9              9
                         +        +       ≥                     = (đpcm)
                  1 + a 1 + b 1 + c (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) 4
                                   1
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = .
                                   3

Bài toán có liên quan:

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
                              a       b       c
                        S=        +      +
                            a +1 b +1 c +1
                     3
Kết quả: Max S =
                     4

Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG
                                                       THỨC BẬC BA
Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba:
                                                                                          3
             ab (a + b) ⎛ a + b ⎞
                                 3
                                    (a + b)(a 2 + ab + b2 ) a 3 + b3 (a 2 + b2 )
                       ≤⎜
                        ⎜ 2 ⎠   ⎟ ≤
                                ⎟                          ≤        ≥                         (1)
                  2     ⎝       ⎟              6                2     (a + b)
                                                                               3


Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b

Bài 1:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
                       b+c               c+a             a+b
                                  +                 +                  ≤2
                 a + 3 4 (b + c ) b + 3 4 (c + a ) c + 3 4 (a 3 + b3 )
                           3   3            3     3




Bài giải:
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có         3   4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c
Do đó:
            3   4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c ⇒ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ a + b + c
                          1                       1           b+c              b+c
            ⇒                               ≤         ⇒                     ≤
                 a + 3 4 (b 3 + c 3 )           a+b+c   a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a + b + c
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                   c+a            c+a
                               ≤
             b + 3 4 (c + a ) a + b + c
                        3   3


                       a+b                       a+b
                                            ≤
                 c + 3 4 (a + b
                              3   3
                                      )         a+b+c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
                    b+c                   c+a               a+b             2 (a + b + c )
                                 +                   +                    ≤                =2
              a + 3 4 (b3 + c 3 ) b + 3 4 (c3 + a 3 ) c + 3 4 (a 3 + b3 )     a+b+c
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0

Bài 2:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
                        1              1           1   1
                  3     3
                               + 3     3
                                               + 3 3
                                                     ≤
                 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc


Bài giải

Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có a 3 + b3 ≥ ab (a + b)
Do đó:
                                                     1             1
            a 3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c) ⇒              ≤
                                                a + b + abc ab (a + b + c)
                                                 3   3


Chứng minh tương tự ta cũng được:
                     1                  1
                              ≤
              b + c + abc bc (a + b + c)
                3    3


                     1                  1
                              ≤
              c + a + abc ca (a + b + c)
                3    3


Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
                     1                  1           1   1   ⎛1   1     1⎞⎟    1
                              + 3               + 3   ≤     ⎜ +
                                                            ⎜ ab bc + ca ⎠ = abc
                                                                         ⎟
                                                                         ⎟
                3    3                  3           3
              a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c ⎝
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0

Bài toán có liên quan:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                                 1            1        1
                       S= 3            + 3         + 3
                            a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
                                   3            2

Kết quả: Max S = 1

Bài 4:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng:
                     a 3 + b3      b3 + c3         c3 + a 3
                              + 2            + 2              ≥2
                 a 2 + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a 2


Bài giải:
                                     a 2 + b2     a+b
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có    2          2
                                                ≥
                                  a + ab + b       3
Suy ra:
a 3 + b3       b3 + c3       c3 + a 3     a+b b+c c+a  2             2
 2          2
              + 2         2
                            + 2          2
                                           ≥    +   +    = (a + b + c) ≥ 3. 3 abc = 2
a + ab + b     b + bc + c    c + ca + a       3   3   3   3             3

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Bài toán có liên quan:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng:
                    x 9 + y9           y 9 + z9        z9 + x 9
                                   + 6             + 6               ≥2
                x 6 + x 3 y 3 + y9  y + y 3 z3 + z6 z + z3 x 3 + x 6

Kỹ thuật 4:            SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ



Bài 1:
Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
                        1 + a 2 + b2   1 + b2 + c 2   1 + c2 + a 2
                                     +              +              ≥3 3
                            ab             bc             ca

Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab (Tạm gọi là bđt phụ trợ)
                                               1 + a 3 + b3      3
Suy ra: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab ⇒                ≥
                                                   ab           ab
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                           1 + b3 + c3         3
                                       ≥
                               bc              bc
                             1 + c3 + a 3      3
                                          ≥
                                 ca           ca
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
 1 + a 2 + b2     1 + b2 + c 2   1 + c2 + a 2    3   3     3                     3   3   3
              +                +              ≥    +    +    ≥ 33                  .   .   =3 3
     ab               bc             ca         ab   bc   ca                    ab bc ca
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Bài 2:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
                    2 a        2 b        2 c      1   1   1
                    3     2
                            + 3     2
                                      + 3      2
                                                 ≤ 2 + 2 + 2
                   a +b       b +c      c +a       a  b   c

Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b
                                           2 a        1
Suy ra: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b ⇒ 3        2
                                                 ≤
                                         a +b        ab
Chứng minh tương tự ta cũng được:
2 b       1
                          3  2
                               ≤
                      b +c       bc
                         2 c      1
                        3    2
                               ≤
                      c +a       ca
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
                         2 a       2 b        2 c      1   1   1   1   1   1
                        3    2
                               + 3       2
                                           + 3    2
                                                    ≤    +   +   ≤ 2 + 2 + 2
                      a +b       b +c       c +a      ab bc ca a      b   c
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0

Bài 3:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
                       a2         b2          c2
                            + 2         + 2        ≥1
                   a 2 + 2bc b + 2ca c + 2ab

Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức : b2 + c2 ≥ 2bc
Ta có :
                                                       1        1           a2       a2
b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a 2 + 2bc ≤ a 2 + b2 + c2 ⇒                ≥ 2          ⇒ 2     ≥ 2
                                                  a 2 + 2bc a + b2 + c2  a + 2bc a + b2 + c2
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                         b2              b2
                                ≥ 2
                      b2 + 2ca a + b2 + c2
                         c2              b2
                               ≥
                      c2 + 2ab a 2 + b2 + c2
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

           a2         b2         c2      a2      b2          c2
                + 2        + 2       ≥ 2    + 2         + 2          =1
       a 2 + 2bc b + 2ca c + 2ab a + b2 + c2 a + b2 + c2 a + b2 + c2
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0

Bài 4:
                                                         3
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c =     . Chứng minh bất đẳng thức:
                                                         4
                              3
                                a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3

Bài giải:
                                                                      a + 3b + 1 + 1 a + 3b + 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :   3
                                          a + 3b = 3 (a + 3b).1.1 ≤                 =
                                                                            3            3
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                                  b + 3c + 2
                      3
                        b + 3c ≤
                                        3
                                  c + 3a + 2
                      3
                        c + 3a ≤
                                       3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
                                                           4 (a + b + c ) + 6
                      3
                          a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤                      =3
                                                                   3
1
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
                                       4

Bài 5:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
                             ab       bc       ca    a+b+c
                                  +        +       ≤
                            a+b b+c c+a                2

Bài giải:
                                                                2           ab   a+b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : a + b ≥ 2 ab ⇒ (a + b) ≥ 4ab ⇒             ≥
                                                                           a+b    4
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                        bc     b+c
                             ≥
                      b+c         4
                        ca     c+a
                             ≥
                      c+a        4
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
                        ab       bc       ca      a+b b+c c+a   a+b+c
                             +        +        ≤     +   +    =
                      a+b b+c c+a                  4   4   4      2
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0

Bài toán có liên quan:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
                                     ab       bc      ca
                              S=          +       +
                                   a+b b+c c+a
                   3
Kết quả: Max S =
                   2

Bài 6:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
                            a3               b3               c3
                                    3 +                + 3           3 ≥1
                      a 3 + (b + c )    b3 + (c + a )3   c + (a + b )

Bài giải:
                                                                          1 + x + 1 − x − x2      x2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 1 + x 3 ≥ (1 + x )(1 − x + x 2 ) ≤                       = 1+
                                                                                  2               2
Vận dụng bđt trên ta sẽ được:
                    a3                1                   1             1               a2
                           3 =                   ≥              2 ≥     2     2 =
              a 3 + (b + c)       ⎛b + c⎞
                                             3
                                                       1 ⎛b + c⎞       b +c       a 2 + b2 + c 2
                               1+⎜⎜     ⎟            1+ ⎜      ⎟
                                                               ⎟    1+
                                        ⎟
                                        ⎟              2⎜ a ⎠
                                                         ⎝     ⎟            2
                                  ⎝ a ⎠                                   a
Chứng minh tương tự ta cũng được:
                             b3             b2
                                       ≥ 2
                        b3 + (c + a )3  a + b2 + c 2
                               c3            c2
                                      3 ≥ 2
                        c 3 + (a + b )   a + b2 + c 2
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt:


        a3               b3               c3           a2            b2            c2
                3 +                + 3          3 ≥ 2           + 2           + 2           =1
  a 3 + (b + c )    b3 + (c + a )3   c + (a + b)   a + b 2 + c 2 a + b 2 + c 2 a + b 2 + c2




                                         Ngày soạn 30/04/2009.

                                   -------------------Hết------------------

Contenu connexe

Tendances

Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Jackson Linh
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Thế Giới Tinh Hoa
 
Vi dụ giai bt cực trị
Vi dụ giai bt cực trịVi dụ giai bt cực trị
Vi dụ giai bt cực trị
chiongvang0504
 
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Luu Tuong
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
Thấy Tên Tao Không
 
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nútBdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Thế Giới Tinh Hoa
 
Tóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại học
Tóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại họcTóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại học
Tóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại học
Trong Nguyen
 
Bdt của tran si tung
Bdt của tran si tungBdt của tran si tung
Bdt của tran si tung
Cam huynh
 

Tendances (20)

Diophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophant
 
1 dạng bđt xoay vòng
1 dạng bđt xoay vòng1 dạng bđt xoay vòng
1 dạng bđt xoay vòng
 
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
 
Đồng dư thức
Đồng dư thứcĐồng dư thức
Đồng dư thức
 
Vi dụ giai bt cực trị
Vi dụ giai bt cực trịVi dụ giai bt cực trị
Vi dụ giai bt cực trị
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo ty
 
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốChuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
 
226 bai toan luong giac lop 10 co giai
226 bai toan luong giac lop 10 co giai226 bai toan luong giac lop 10 co giai
226 bai toan luong giac lop 10 co giai
 
Bdt võ quốc bá cẩn
Bdt  võ quốc bá cẩnBdt  võ quốc bá cẩn
Bdt võ quốc bá cẩn
 
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9
 
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo n
Bài tập về cấp của một số nguyên modulo n
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
 
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nútBdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
Bdt đánh giá trên biên nhìn vào điểm nút
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
 
Phương trình và hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trìnhPhương trình và hệ phương trình
Phương trình và hệ phương trình
 
Tóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại học
Tóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại họcTóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại học
Tóm tắt công thức vật lý 12, luyện thi đại học
 
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm sốCác bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
 
Bdt của tran si tung
Bdt của tran si tungBdt của tran si tung
Bdt của tran si tung
 
Kỹ thuật nhân liên hợp
Kỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợp
Kỹ thuật nhân liên hợp
 

En vedette (10)

19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
Ho tro giai_toan_bat_dang_thuc
Ho tro giai_toan_bat_dang_thucHo tro giai_toan_bat_dang_thuc
Ho tro giai_toan_bat_dang_thuc
 
Bất đẳng thức
Bất đẳng thứcBất đẳng thức
Bất đẳng thức
 
Tuyển tập 300 bài bdt
Tuyển tập 300 bài bdtTuyển tập 300 bài bdt
Tuyển tập 300 bài bdt
 
Sach bat dang thuc rat hay
Sach bat dang thuc rat haySach bat dang thuc rat hay
Sach bat dang thuc rat hay
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
 
Đặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn
Đặt ẩn phụ giải phương trình chứa cănĐặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn
Đặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn
 
đề Thi hsg toán 8 có đáp án
đề Thi hsg toán 8 có đáp ánđề Thi hsg toán 8 có đáp án
đề Thi hsg toán 8 có đáp án
 
80 bai toan thong minh
80 bai toan thong minh80 bai toan thong minh
80 bai toan thong minh
 
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
 

Similaire à Bat dang thuc ltdh

221 bat dang thuc
221 bat dang thuc221 bat dang thuc
221 bat dang thuc
ongdongheo
 
Chuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trình
Chuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trìnhChuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trình
Chuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trình
phamchidac
 
Bdt dt chuyen_qt_l_t
Bdt dt chuyen_qt_l_tBdt dt chuyen_qt_l_t
Bdt dt chuyen_qt_l_t
Tam Vu Minh
 
Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)
Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)
Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)
Nguyen KienHuyen
 
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9 chuyen de bd hsg nang khieu
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9  chuyen de bd hsg  nang khieu[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9  chuyen de bd hsg  nang khieu
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9 chuyen de bd hsg nang khieu
Tam Vu Minh
 
270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan
270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan
270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan
Tam Vu Minh
 
270 bai toan bdhsg 9doc
270  bai toan bdhsg 9doc270  bai toan bdhsg 9doc
270 bai toan bdhsg 9doc
Tam Vu Minh
 
Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu
Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthuChuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu
Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu
Tam Vu Minh
 
Deonmontoanso4
Deonmontoanso4Deonmontoanso4
Deonmontoanso4
Duy Duy
 
6856978 collected-problems-about-inequality
6856978 collected-problems-about-inequality6856978 collected-problems-about-inequality
6856978 collected-problems-about-inequality
ria_nghia
 

Similaire à Bat dang thuc ltdh (20)

đề Cương ôn tập học kỳ 2 toán 10
đề Cương ôn tập học kỳ 2 toán 10đề Cương ôn tập học kỳ 2 toán 10
đề Cương ôn tập học kỳ 2 toán 10
 
Ds10 c4a
Ds10 c4aDs10 c4a
Ds10 c4a
 
221 bat dang thuc
221 bat dang thuc221 bat dang thuc
221 bat dang thuc
 
Chuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trình
Chuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trìnhChuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trình
Chuyên đề 4 bất đẳng thức và bất phương trình
 
Chuyen de-bdt-va-bpt
Chuyen de-bdt-va-bptChuyen de-bdt-va-bpt
Chuyen de-bdt-va-bpt
 
Bdt dt chuyen_qt_l_t
Bdt dt chuyen_qt_l_tBdt dt chuyen_qt_l_t
Bdt dt chuyen_qt_l_t
 
Bat dang thuc don bien co dien
Bat dang thuc don bien co dienBat dang thuc don bien co dien
Bat dang thuc don bien co dien
 
19 phuong phap chung minh bat dang thu ccb
 19 phuong phap chung minh bat dang thu ccb 19 phuong phap chung minh bat dang thu ccb
19 phuong phap chung minh bat dang thu ccb
 
Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)
Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)
Tuyen tap cac_bat_dang_thuc_trong_cac_de_thi_tuyen_sing_dai_hoc(ca_hd)
 
K2pi.net.vn --k2pi.net.vn---bdt-vo quocba can-2009
K2pi.net.vn --k2pi.net.vn---bdt-vo quocba can-2009K2pi.net.vn --k2pi.net.vn---bdt-vo quocba can-2009
K2pi.net.vn --k2pi.net.vn---bdt-vo quocba can-2009
 
TUYỂN TẬP 23 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 - CÓ LỜI GIẢ...
TUYỂN TẬP 23 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 - CÓ LỜI GIẢ...TUYỂN TẬP 23 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 - CÓ LỜI GIẢ...
TUYỂN TẬP 23 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 - CÓ LỜI GIẢ...
 
Chuyen de bat dang thuc cauchy
Chuyen de bat dang thuc cauchyChuyen de bat dang thuc cauchy
Chuyen de bat dang thuc cauchy
 
Chuyen de can thuc bac hai
Chuyen de can thuc bac haiChuyen de can thuc bac hai
Chuyen de can thuc bac hai
 
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9 chuyen de bd hsg nang khieu
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9  chuyen de bd hsg  nang khieu[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9  chuyen de bd hsg  nang khieu
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] toan 9 chuyen de bd hsg nang khieu
 
270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan
270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan
270 bai toan_boi_duong_hs_gioi_va_nang_khieu_toan
 
270 bai toan bdhsg 9doc
270  bai toan bdhsg 9doc270  bai toan bdhsg 9doc
270 bai toan bdhsg 9doc
 
Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu
Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthuChuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu
Chuyen de boi duong toan cua thay nguyentatthu
 
Deonmontoanso4
Deonmontoanso4Deonmontoanso4
Deonmontoanso4
 
6856978 collected-problems-about-inequality
6856978 collected-problems-about-inequality6856978 collected-problems-about-inequality
6856978 collected-problems-about-inequality
 
Bdt trebusep
Bdt trebusepBdt trebusep
Bdt trebusep
 

Bat dang thuc ltdh

  • 1. Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI. Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ (1) (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế a3 b3 c3 (a + b + c) (1) ⇔ + + ≥ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a3 a+b a+c ⎛ a3 ⎞ ⎛ a + b ⎞ ⎛ a + c ⎞ 3a ⎟⎜ + + ≥ 33 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎟= ⎟ (a + b ) ( a + c ) 8 8 ⎜(a + b)(a + c)⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎜ 8 ⎠ ⎜ ⎝ ⎟⎜ ⎟ 4 Chứng minh tương tự ta cũng được: b3 b+c b+a ⎛ b3 ⎞ ⎛ b + c ⎞⎛ b + a ⎞ 3b ⎟⎜ + + ⎜ ≥ 33 ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ (b + c)(b + a ) 8 8 ⎜ ⎝ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎟⎜ ⎜(b + c)(b + a )⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎟= 4 ⎟ c3 c+a c+b ⎛ c3 ⎞ ⎛ c + a ⎞ ⎛ c + b ⎞ 3c ⎟⎜ + + ≥ 33 ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜(c + a )(c + b)⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ = 4 ⎜ ⎟⎝ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ( c + a ) (c + b) 8 8 ⎜ ⎝ ⎟ Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: a3 b3 c3 a+b+c 3 + + ≥ = (đpcm) (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 4 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
  • 2. Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a + bc b + ca c + ab 4 Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Bài toán có liên quan: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ a ( b + c ) b ( c + a ) c (a + b ) 2 3 Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 2 + + ≥ (b + c) (c + a )2 (a + b) 4 Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ 1 (1) b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế a3 b3 c3 a+b+c (1) ⇔ + + ≥ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
  • 3. 9a 3 ⎛ 9a 3 ⎞ ⎟ + 3b + (2c + a ) ≥ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ b (2c + a )⎠ (3b)(2c + a ) = 9a ⎜ ⎟ b (2c + a ) ⎝ ⎟ Chứng minh tương tự ta cũng được: 9b3 ⎛ 9b3 ⎞ ⎟ ⎜ + 3c + (2a + b) ≥ 3 3 ⎜ ⎟ c (2a + b) ⎜ c (2a + b)⎠ (3c)(2a + b) = 9b ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ 9c 3 ⎛ 9c3 ⎞ ⎟ ⎜ + 3a + (2b + c) ≥ 3 3 ⎜ ⎟ a (2b + c) ⎜ a (2b + c)⎠ (3a )(2b + c) = 9c ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: ⎡ a3 b3 c3 ⎤ 9⎢ + + ⎥ + 6 (a + b + c) ≥ 9 (a + b + c) ⎢ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) ⎥ ⎣ ⎦ a3 b3 c3 a+b+c ⇒ + + ≥ =1 b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3 Bài giải: Sử dụng giả thiết a 2 + b2 + c2 = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế a3 b3 c3 a 2 + b2 + c 2 (1) ⇔ + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 9a 3 9a 3 + a ( b + 2c ) ≥ 2 .a (b + 2c) = 6a 2 (b + 2c) b + 2c Chứng minh tương tự ta cũng được: 9b 3 9b3 + b (c + 2a ) ≥ 2 .b (c + 2a ) = 6b2 (c + 2a ) c + 2a 9c3 9c3 + c (a + 2b) ≥ 2 .c (a + 2ab) = 6c2 (a + 2b) (a + 2b) Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
  • 4. 3 b3 c3 ⎞ ⎜ a 9⎜ + + ⎟ ⎟ + 3 (ab + bc + ca ) ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 ) ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ ⎛ 3 b3 c3 ⎞ ⎜ a ⎟ ⎟ ≥ 6 (a + b + c ) − 3 (ab + bc + ca ) ≥ 3 (a + b + c ) 2 2 2 2 2 2 ⇒ 9⎜ + + ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ a3 b3 c3 a 2 + b 2 + c2 1 ⇒ + + ≥ = b + 2c c + 2a a + 2b 3 3 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Bài tập tương tự Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≥ a+b b+c c+a 2 Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≤ (1) 1+a 2 1+b 2 1+c 2 2 Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải: Sử dụng giả thiết ab + bc + ca = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a a a a 1⎛ a a ⎞⎟ = = . ≤ ⎜⎜ + ⎟ ⎟ 1+a 2 2 a + ab + bc + ca a+b a+c 2 ⎜a + b a + c⎠ ⎝ Chứng minh tương tự ta cũng được: b 1⎛ b ⎜ b ⎞⎟ ≤ ⎜ + ⎟ ⎟ 1+b 2 2 ⎜b + c b + a⎠ ⎝ c 1⎛ c c ⎞ ⎟ ≤ ⎜ ⎜c + a + a + b⎠ ⎜ ⎟ ⎟ 1+c 2 2⎝ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: a b c 1 ⎛a + b b + c c + a ⎞ 3 ⎟= + + ≤ ⎜⎜ + + ⎟ ⎟ 1+a 2 1+ b 2 1+ c 2 2 ⎜a + b b + c c + a ⎠ 2 ⎝ 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3
  • 5. Bài 5: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ac S= + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài giải: Ta lần lượt có: ⎧ ⎪ ab ab ab ab ⎛ 1 1 ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 2c + ab = c (a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) ≤ 2 ⎜ c + a + c + b ⎠ ⎪ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ bc bc bc ⎛ bc ⎜ 1 1 ⎞ ⎪ ⎨ = = ≤ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎪ 2a + bc ⎪ a (a + b + c) + bc (a + b)(a + c) 2 ⎜a + b a + c⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ca ca ca ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ 2b + ac = b (a + b + c) + ca = (b + c)(b + a ) ≤ 2 ⎜ b + c + b + a ⎠ ⎪ ⎪ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎪ ⎩ bc + ca bc + ab ca + ab a+b+c ⇒S≤ + + = =1 2 (a + b) 2 (c + a ) 2 (c + b) 2 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Vậy Max S = 1 . Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2 Chứng minh rằng: ab bc ac 1 + + ≤ c + ab a + bc b + ac 2 Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ. Dạng 1: 1) ∀x, y > 0 ta luôn có: ⎛1 1⎞ ⎟ ⎜ ( x + y)⎜ + ⎟ ≥ 4 ⎜x y⎠ ⎝ ⎟ Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y 2) ∀x, y, y > 0 ta luôn có: ⎛1 1 1⎞ ( x + y + x )⎜ + + ⎟ ≥ 9 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝x y y⎠ Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z
  • 6. Dạng 2: 1) ∀x, y > 0 ta luôn có: 1 1 4 + ≥ x y x+y Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y 2) ∀x, y, z > 0 ta luôn có: 1 1 1 9 + + ≥ x y z x+y+z Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ab 1 1⎛ 1 1 ⎞⎟ = ab. ≤ ab. ⎜⎜ + ⎟ ⎟ a + b + 2c (a + c) + (b + c) 4 ⎜a + c b + c⎠ ⎝ Tương tự ta cũng được: bc 1 1⎛ 1 1 ⎞ ⎟ = bc. ≤ bc. ⎜⎜ + ⎟ ⎟ b + c + 2a (b + a ) + (c + a ) 4 ⎜b + a c + a ⎠ ⎝ ca 1 1⎛ 1 ⎜ 1 ⎞⎟ = ca. ≤ ca. ⎜ ⎜c + b + a + b⎠ ⎟ ⎟ c + a + 2b (c + b) + (a + b) 4⎝ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1 ⎛ bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ⎟= + + ≤ ⎜ ⎜ + + ⎟ ⎟ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 ⎜ a + b ⎝ b+c a+c ⎠ 4 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 2: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: ab 1 1⎛ 1 ⎜ 1 1⎞⎟ = ab. ≤ ab. ⎜ ⎜ a + c + b + c + 2b ⎠ ⎟ ⎟ a + 3b + 2c (a + c) + (b + c) + 2b 9⎝ Tương tự ta cũng được: bc 1 1⎛ 1 1 1⎞ ⎟ = bc. ≤ bc. ⎜ ⎜ b + a + c + a + 2c ⎠ ⎜ ⎟ ⎟ b + 3c + 2a (b + a ) + (c + a ) + 2c 9⎝ ca 1 1⎛ 1 ⎜ 1 1⎞⎟ = ca. ≤ ca. ⎜⎜ + + ⎟ ⎟ c + 3a + 2b (c + b) + (a + b) + 2a 9 ⎝ c + b a + b 2a ⎠
  • 7. Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1 ⎜ a + b + c bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ⎛ ⎟ + + ≤ ⎜ + + + ⎟= ⎟ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 9 ⎜ ⎝ 2 a+b b+c a+c ⎠ 6 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 3: 1 1 1 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn+ + = 4 .Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 + + ≤1 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c Bài giải: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 1 1 1⎛ 1 ⎜ 1 ⎞ ⎟ ≤ 1 ⎛ 2 + 1 + 1⎞ ⎟ = ≤ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ 2a + b + c (a + b) + (a + c) 4 ⎝ a + b a + c ⎠ 16 ⎜ a b c ⎠ ⎟ ⎝ ⎟ 1 1 1⎛ 1 ⎜ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎛ 1 2 1⎞ ⎟ = ≤ ⎜ + ⎜ ⎜ ⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠ ⎟ a + 2b + c (a + b) + (b + c) 4 ⎝ a + b b + c ⎠ ⎝ ⎟ ⎟ 1 1 1⎛ 1 ⎜ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎛ 1 1 2⎞ ⎟ = ≤ ⎜ + ⎜ ⎜ a + b + 2c (a + c) + (b + c) 4 ⎝ a + c b + c ⎠ ⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 1 1 1 1 ⎛ 1 1 1⎞ 1⎟ + + ⎜ ≤ ⎜ + + ⎟ = .4 = 1 ⎟ 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c 4 ⎝ a b c ⎠ 4 3 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = 4 Bài 4: Cho a,b là các số dương thỏa mãn a + b < 1 .Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ≥ 1−a 1− b a + b 2 Nhận xét : (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) = 2 Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: 1 1 1 9 2 + + ≥ = (đpcm) 1 − a 1 − b a + b (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) 9 1 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = 3 Bài toán có liên quan: Cho a,b là các số dương thỏa mãn a + b < 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 1 S= + +a+b+ 1−a 1− b a+b 5 Kết quả: min S = 2
  • 8. Bài 5: Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 .Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ≥ 1+a 1+b 1+c 4 Nhận xét : (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) = 4 Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: 1 1 1 9 9 + + ≥ = (đpcm) 1 + a 1 + b 1 + c (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) 4 1 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = . 3 Bài toán có liên quan: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c S= + + a +1 b +1 c +1 3 Kết quả: Max S = 4 Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba: 3 ab (a + b) ⎛ a + b ⎞ 3 (a + b)(a 2 + ab + b2 ) a 3 + b3 (a 2 + b2 ) ≤⎜ ⎜ 2 ⎠ ⎟ ≤ ⎟ ≤ ≥ (1) 2 ⎝ ⎟ 6 2 (a + b) 3 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: b+c c+a a+b + + ≤2 a + 3 4 (b + c ) b + 3 4 (c + a ) c + 3 4 (a 3 + b3 ) 3 3 3 3 Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c Do đó: 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c ⇒ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ a + b + c 1 1 b+c b+c ⇒ ≤ ⇒ ≤ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a+b+c a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a + b + c Chứng minh tương tự ta cũng được: c+a c+a ≤ b + 3 4 (c + a ) a + b + c 3 3 a+b a+b ≤ c + 3 4 (a + b 3 3 ) a+b+c
  • 9. Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt b+c c+a a+b 2 (a + b + c ) + + ≤ =2 a + 3 4 (b3 + c 3 ) b + 3 4 (c3 + a 3 ) c + 3 4 (a 3 + b3 ) a+b+c Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 3 3 + 3 3 + 3 3 ≤ a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có a 3 + b3 ≥ ab (a + b) Do đó: 1 1 a 3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c) ⇒ ≤ a + b + abc ab (a + b + c) 3 3 Chứng minh tương tự ta cũng được: 1 1 ≤ b + c + abc bc (a + b + c) 3 3 1 1 ≤ c + a + abc ca (a + b + c) 3 3 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 1 1 1 1 ⎛1 1 1⎞⎟ 1 + 3 + 3 ≤ ⎜ + ⎜ ab bc + ca ⎠ = abc ⎟ ⎟ 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c ⎝ Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 S= 3 + 3 + 3 a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 3 2 Kết quả: Max S = 1 Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng: a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 + 2 + 2 ≥2 a 2 + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a 2 Bài giải: a 2 + b2 a+b Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 2 2 ≥ a + ab + b 3 Suy ra:
  • 10. a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 a+b b+c c+a 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ + + = (a + b + c) ≥ 3. 3 abc = 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài toán có liên quan: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng: x 9 + y9 y 9 + z9 z9 + x 9 + 6 + 6 ≥2 x 6 + x 3 y 3 + y9 y + y 3 z3 + z6 z + z3 x 3 + x 6 Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ Bài 1: Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: 1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2 + + ≥3 3 ab bc ca Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab (Tạm gọi là bđt phụ trợ) 1 + a 3 + b3 3 Suy ra: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab ⇒ ≥ ab ab Chứng minh tương tự ta cũng được: 1 + b3 + c3 3 ≥ bc bc 1 + c3 + a 3 3 ≥ ca ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2 3 3 3 3 3 3 + + ≥ + + ≥ 33 . . =3 3 ab bc ca ab bc ca ab bc ca Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 2 a 2 b 2 c 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ 2 + 2 + 2 a +b b +c c +a a b c Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b 2 a 1 Suy ra: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b ⇒ 3 2 ≤ a +b ab Chứng minh tương tự ta cũng được:
  • 11. 2 b 1 3 2 ≤ b +c bc 2 c 1 3 2 ≤ c +a ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2 a 2 b 2 c 1 1 1 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ + + ≤ 2 + 2 + 2 a +b b +c c +a ab bc ca a b c Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 3: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 + 2 + 2 ≥1 a 2 + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức : b2 + c2 ≥ 2bc Ta có : 1 1 a2 a2 b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a 2 + 2bc ≤ a 2 + b2 + c2 ⇒ ≥ 2 ⇒ 2 ≥ 2 a 2 + 2bc a + b2 + c2 a + 2bc a + b2 + c2 Chứng minh tương tự ta cũng được: b2 b2 ≥ 2 b2 + 2ca a + b2 + c2 c2 b2 ≥ c2 + 2ab a 2 + b2 + c2 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt a2 b2 c2 a2 b2 c2 + 2 + 2 ≥ 2 + 2 + 2 =1 a 2 + 2bc b + 2ca c + 2ab a + b2 + c2 a + b2 + c2 a + b2 + c2 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 4: 3 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = . Chứng minh bất đẳng thức: 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 Bài giải: a + 3b + 1 + 1 a + 3b + 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 3 a + 3b = 3 (a + 3b).1.1 ≤ = 3 3 Chứng minh tương tự ta cũng được: b + 3c + 2 3 b + 3c ≤ 3 c + 3a + 2 3 c + 3a ≤ 3 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 4 (a + b + c ) + 6 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ =3 3
  • 12. 1 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 4 Bài 5: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a 2 Bài giải: 2 ab a+b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : a + b ≥ 2 ab ⇒ (a + b) ≥ 4ab ⇒ ≥ a+b 4 Chứng minh tương tự ta cũng được: bc b+c ≥ b+c 4 ca c+a ≥ c+a 4 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt ab bc ca a+b b+c c+a a+b+c + + ≤ + + = a+b b+c c+a 4 4 4 2 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab bc ca S= + + a+b b+c c+a 3 Kết quả: Max S = 2 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 c3 3 + + 3 3 ≥1 a 3 + (b + c ) b3 + (c + a )3 c + (a + b ) Bài giải: 1 + x + 1 − x − x2 x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 1 + x 3 ≥ (1 + x )(1 − x + x 2 ) ≤ = 1+ 2 2 Vận dụng bđt trên ta sẽ được: a3 1 1 1 a2 3 = ≥ 2 ≥ 2 2 = a 3 + (b + c) ⎛b + c⎞ 3 1 ⎛b + c⎞ b +c a 2 + b2 + c 2 1+⎜⎜ ⎟ 1+ ⎜ ⎟ ⎟ 1+ ⎟ ⎟ 2⎜ a ⎠ ⎝ ⎟ 2 ⎝ a ⎠ a Chứng minh tương tự ta cũng được: b3 b2 ≥ 2 b3 + (c + a )3 a + b2 + c 2 c3 c2 3 ≥ 2 c 3 + (a + b ) a + b2 + c 2
  • 13. Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt: a3 b3 c3 a2 b2 c2 3 + + 3 3 ≥ 2 + 2 + 2 =1 a 3 + (b + c ) b3 + (c + a )3 c + (a + b) a + b 2 + c 2 a + b 2 + c 2 a + b 2 + c2 Ngày soạn 30/04/2009. -------------------Hết------------------