人口統計應用於選舉預測－蔡佳泓

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人口統計運用在選舉預測
蔡佳泓
國立政治大學選舉研究中心暨東亞研究所
tsaich@nccu.edu.tw
August 22, 2015
2015 台灣資料科學愛好者年會
蔡佳泓 (tsaich@nccu.edu.tw ) 國立政治大學選舉研究中心 1/378/22/2015 1 / 37

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主要報告內容
1 台北市長選舉預測結果
2 選舉預測方法
何謂多層次分析
迴歸模型
3 為什麼要用多層次分析模型
4 選舉行為模型
多層次分析與貝氏統計
5 多層次分析以及事後加權
6 2004 年預測模型
7 結論

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台北市市長選舉柯文哲得票率中位數預測

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二十個縣市長選舉民進黨得票率之預測

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如何進行選舉預測
把各個縣市、選區視為一個「層次」，或者是次類別。
假設每個縣市有其共通性，但是也有特殊的地方。
從民調資料得到民眾對於候選人或政黨的支持，然後加上選區的人
口結構，或者加上上次的選舉結果，克服民意調查中民眾不表態的
問題。
利用貝氏統計克服各個層次樣本規模不一、點估計的不確定程度
（標準誤）過大的問題。

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多層次分析的意義
多層次分析指的是考慮依變數與自變數的關係之外，而且需要估計
不同群體的個體之間的差異。
如果我們把所有的樣本放在一起進行分析，可能忽略了個體所屬群
體之間的差異。如果我們區隔群體分別分析，又忽略了個體之間的
差異。
多層次分析可以用廣泛線性模型 (Generalized Linear Model) 進行，
但是貝氏統計可以更佳地估計樣本的不確定性。
多層次分析幫助研究者處理個體與總體資料。例如，每一個縣市有
多少人喜歡某項政策？有多少人會支持某位候選人等等。

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迴歸模型一
迴歸的目的是找到依變數或是反應變數 (outcome)Y 與一個或是一
個以上的預測變數 (predictor)X 的函數關係。
迴歸的基礎觀念是條件機率，也就是迴歸線逼近在 X 成立的條件
下，Y 的平均值。所以模型的對象是 E[Y|X]，也就是 X 變化時，Y
的平均值變化大小。
母體迴歸函數 (Population regression function) 一般表示為
E(Y|X) = β0 + Xβ1 (1)
我們盡可能逼近 X 各個值的 Y 的平均數的函數。一旦找到這樣的迴
歸函數，可以用來預測其他的觀察值，或是進行因果推論。
E(Y|X) 表示固定 X 之後 Y 的平均值，等於 β0 + Xβ1。
隨機樣本的迴歸模型表示為 Yi = β0 + β1xi + ϵi。
迴歸對於 x 沒有任何假設，但是假設 ϵi 的平均值為 0，變異數不隨
著 x 變動而變動。

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迴歸模型二
隨機樣本的迴歸模型表示為 yi = β0 + β1xi + ϵi。
迴歸對於 x 沒有任何假設，但是假設 ϵi 的平均值為 0，這樣才能得
到 β1 的無偏估計，也就是等於母體的 β1。而且假設變異數不隨著 x
變動而變動，這樣的估計 β1 才有最小的不確定性。
y 可以是任意數，但是當 y 只有 0 與 1，雖然 β1 仍然是無偏估計，
但是並非最佳估計，進行假設檢定時會得到錯誤的結論。
因為 y 只有 0 與 1，所以平均值 E(Y) 介於 0 與 1，可詮釋成機率
Pr(yi = 1)。
當 y 只有 0 與 1，有可能出現 x 對於 y 的影響 β1 會隨著抽樣得到 x
（例如家庭收入）的範圍改變而改變，而不是固定不變。
因此，當 y 只有 0 與 1，而我們又希望用線性模型逼近 x 與 y 之間的
關係時，把 y 轉換成 log Pi
(1−Pi) ，變成沒有上下限的依變數。

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迴歸模型三
當 y 只有 0 與 1，而我們又希望用線性模型逼近 x 與 y 之間的關係
時，把 y 取對數轉換成 log Pi
(1−Pi) ，變成沒有上下限的依變數，符合
線性模型的要求。
Pi 0 0.1 0.2 0.3 0.5 ... 1
log Pi
(1−Pi) -Inf -2.19 -1.38 -0.84 0 ... Inf
上表顯示 Pi 在 0 與 1 會得到無限小與無限大，因此當 y 變異數太小
得到的結果需謹慎推論。
因為 logistic 分佈適合以上的非線性關係，所以用”logistic
probability unit” 指機率模型，簡稱為 logit。

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分析步驟
1 從民意調查資料，找出依變數 Y，以及自變數 X，假設
E(Y|X) = β0 + β1X
2 如果 Y 是二元變數，例如投票給兩個政黨其中之一，或者是支持不
支持獨立，可以假定 Y 與 X 之間為非線性模型，也就是
Pr(Y = 1)=logit−1(β0 + β1X) 或者是
P(y = 1)
1 − P(y = 1)
= exp(β0 + β1X)
3 把 β0 換成 α0，代表各個縣市的截距。
4 為了配合人口統計資料，β1 代表人口變項 X 的係數，X 可以是性
別、教育程度、年齡等類別變數或者是兩兩變數的交互作用。
5 估計得到的係數，代入模型之後得到 Y 的預測值：θ1, . . . , θn
6 計算人口資料每一細格的百分比，乘上 θj，得到每一細格
Pr(Y = 1)，累加起來為特定特徵人口的 Pr(Y = 1)。

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多層次模型與一般模型比較
一般迴歸模型以個體資料為主，無法納入總體資料。而且個體之間
如果有地區的差異，無法處理不同地區有不同樣本數規模造成不同
標準誤。
多層次分析把所有的個體納入估計，所以得到的係數估計應該有較
小的標準誤。
多層次分析也可以納入總體資料來估計不同地區的差異.
相較於全部匯集 (complete pooling) 以及完全不匯集 (no pooling)，多
層次分析的概念是部分匯集 (partial pooling)。所得到的係數估計介
於兩者之間。

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二元的投票模型 -1
假設我們隨機調查一千位二十歲以上成年人，其中投票選擇是二分
類，例如投給國民黨是 1，其它是 0。而且我們詢問受訪者的政黨認
同、經濟評估、教育程度、地區等等來解釋投票行為。模型可以寫
成：
Pr(yi = 1)= logit−1
(β0
+ βpartisanship
partisanshipi + βeconomy
economyi+
βeducation
educationi + βage
agei+
α
city
j[i] )
(2)
根據模型 (2) 估計得到的係數, 可以得到每一個人投票給國民黨的預
測機率 0∼1。但是縣市的差異例如「北藍南綠中？？」並沒有出現在
這個模型。

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二元的投票模型 -2
多層次模型不僅解釋個體的差異，而且解釋群體（縣市）的差異。
例如，在模型 (3)，我們用上一次縣市的總統選舉結果或者是經濟成
長的指標以及縣市所在的區域，解釋每一個縣市民眾投票的變異。
換句話說，我們假設民眾的投票行為決定於
1 個人的政治態度與社經背景
2 所在縣市的整體政治或經濟指標
α
city
j = β1
previous election + αregion
regionm[j]
for j= 1, · · · , 5 (3)
用韓國以及台灣的 2012 年總統選舉為例，其中用各省市的收入變
化解釋韓國選舉的選舉（收入變化越大越會投票給补槿惠）。

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Figure 1: Map of GNP’s Vote Shares in the Korean Presidential Election, 2012

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Figure 2: Map of KMT’s Vote Shares in Taiwan’s Presidential Election, 2012

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Table 1: Linear Mixed Effect Models of Voting for Saenuri in South Korean
Presidential Election, 2012
Intercept Individual-level Province-level
Intercept 0.470∗∗∗
−0.081 −0.262∗
(0.057) (0.070) (0.108)
Saenuri identification 0.696∗∗∗
0.695∗∗∗
(0.023) (0.023)
Conservative 0.020∗∗∗
0.020∗∗∗
(0.005) (0.005)
Retrospective Economic Evaluation 0.060∗∗∗
0.060∗∗∗
(0.014) (0.014)
Age 0.017∗
0.017†
(0.009) (0.009)
Education −0.000 −0.002
(0.017) (0.017)
Female 0.005 0.004
(0.018) (0.018)
Change in Individual Income 2.311∗
(1.028)
AIC 1447.765 470.773 466.248
BIC 1462.611 515.313 515.736
Log Likelihood -720.882 -226.386 -223.124
Num. obs. 1042 1042 1042
Num. groups: Province 15 15 15
Variance: Province.(Intercept) 0.044 0.005 0.003
Variance: Residual 0.225 0.085 0.085
Notes: ***p < 0.001, **p < 0.01, *p < 0.05. Standard errors are in parentheses.

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多層次模型與一般模型比較
根據前面的分析，多層次分析把所有的個體納入估計，所以得到的
係數估計應該有較小的標準誤。
相較於全部匯集 (complete pooling) 以及完全不匯集 (no pooling)，多
層次分析的概念是部分匯集 (partial pooling)。所得到的係數估計介
於兩者之間。
例如我們用民眾對於五個縣市社會福利等政策的滿意程度，加上各
縣市的財政資料、預測民眾對於社會福利等政策預算是否應該增加
的態度，經過估計得到係數，跟分開縣市估計的結果加以比較。

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一般模型與多層次模型對照圖

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雖然多層次分析可以結合個體與總體資料，同時解釋個體與群體的
差異，但是每個群體的觀察值數目不同，如果我們要從模型估計結
果反推得到每個群體的投票機率，可能有問題。
我們希望能夠運用人口資料細格的資料進行資料加權，提高係數估
計的價值。

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多層次分析與貝氏統計
貝氏統計允許研究者用觀察到的資訊 (y) 更新對於母體參數 θ 的估
計。
根據貝氏定理，我們所感興趣的參數 θ 服從一機率分佈，先驗機率
p(θ) 與「概似函數」(likelihood function) p(y|θ) 的乘積，等於後驗分
佈 (posterior distribution)，或者是 p(θ|y)。
Bayes Theorem
p(θ|y) ∝ p(θ)p(y|θ)
統計推論來自於後驗分佈 p(y|θ) 抽樣得到的值。
多層次模型依據馬可夫鏈蒙地卡羅 (Markov Chain Monte Caro,
MCMC) 拆解複雜的條件機率。透過 WinBugs 或是 JAGS 不斷地根
據觀察到的自變數、依變數等資料，所構成的條件機率抽樣。

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以韓國 2007 總統選舉為例
韓國政治有地區的分歧：保守黨多半來自東南部，反對黨來自西南
部，北部則是兩黨勢力平均。
因此，解釋投票行為時，除了政治態度之外，需要考慮選民所在地
區。
Pr(yi = GNP)= logit−1
(β0
+ βpartisanship
partisanshipi + βideology
ideologyi+
βeconomy
economyi + βpartisanship·ideology
partisanshipi · ideologyi+
α
province
j[i] )
(4)
α
province
j = β1
previous election + αregion
regionm[j]
for j= 1, · · · , 5 (5)

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多層次分析以及事後加權
以上的分析加上人口變項可以增加預測的準確性，被稱為多層次迴
歸以及事後加權(Multi-level Regression and Post-stratification, MRP)
為了利用人口統計，個體層次主要用人口變項預測行為，總體層次
可用過去的投票紀錄調整各縣市的預測結果。
模型可分成個體與總體兩層次：
(β0
+ βfemale
× femalei + αeducation
k[i] + α
age
l[i] +
α
education×age
k[i],l[i] + α
city
j[i] ) (6)
α
city
j = β1
× Previous Election + αarea
× aream[j]
for j= 1, · · · , 20 (7)

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先驗機率的設定
p(θ|y) 是我們要估計的參數，包括平均數以及變異數，而且我們要
用 p(θ) 輔助。
WinBUGS 等軟體可以從 p(θ|y) 進行抽樣，幫助我們估計 θ。但是樣
本與參數 θ 之間的差距，用一個準確性的指標 (precision parameter)
表示。
截距的先驗機率設定為常態分佈，變異數設定為 σ2，1/σ2 為準確
性，並且設定服從一致分佈 (uniform distribution)。
αage
∼ N(0, τ)
τage
= 1/σ2
αedu
∼ N(0, τedu
)
τedu
= 1/σ2
αage·edu
∼ N(0, τ)
τage·edu
= 1/σ2
σ2
∼ unif(0.001, 10)
(8)蔡佳泓 (tsaich@nccu.edu.tw ) 國立政治大學選舉研究中心 20/378/22/2015 20 / 37

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事後加權
用 θj 代表多層次分析模型所得到的預測值，也就是：
θj = logit−1
(Xjβ +
∑
S
αS
)
其中 αS 代表每個縣市，而 X 代表各個自變項，在求出 β 之後，代
入人口統計的資料，得到預測值 θj。
θS =
∑
j∈JS
Nj × θj
∑
j∈JS
Nj
(9)
而 Nj 代表某一個細分類的母體人口數，因此 θS 代表每一個都市的
事後加權所得到的平均值：

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2010 年人口及住宅普查資料
依據統計法規定，政府於民國 45 年舉辦第 1 次臺閩地區戶口普查，
迄今已辦理 5 次普查。
採「公務登記輔以抽樣調查」方式辦理，共抽選 16% 樣本普查區進
行全面訪查（非普查）。

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行政院主計總處

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2010 年人口及住宅普查資料
l 01010000100007 2112271122141000221410000017
01010000300001 2132371415322200153222000018
01010000300009 2111223424242200242422000018
01010000800002 2112252226411000142323000017
· · ·
· · ·

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用 Stata 轉換資料格式
R code
infix sex 17 age 18-19 edu 27-27 language 31 town 1-4
using "P99C3.txt"

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資料描述
經過變數定義之後，資料總共有
20 個縣市
4 組教育程度：國小、國中、高中職、大學及以上
5 組年齡層：15-24 歲，25-34 歲，35-44 歲，45-54 歲，55 歲以上
性別
總共有 2,896,446 人分佈在 800 個細格中
例如，台北市有 272,401 人，宜蘭縣有 72,579 人

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Stata 資料截圖

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2014 縣市長選舉預測
利用 TEDS 於今年六月、九月所做的總統滿意度電話調查資料（約
2000 份樣本），估計多層次模型：
(β0
+ βfemale
× femalei + αeducation
k[i] + α
age
l[i] +
α
education×age
k[i],l[i] + α
city
j[i] ) (10)
使用 2012 年總統選舉民進黨候選人在各縣市的得票率預測各縣市
的差距。
α
city
j = β1
· 2012 DPP’s Vote Share + αarea
· aream[j]
for j= 1, · · · , 20 (11)
使用 2010 年的人口普查資料，進行 MRP 估計各縣市得票率。

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柯文哲得票率預測

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比較各縣市 MRP 估計以及調查資料之民進黨得票率

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比較 MRP 估計以及最後民進黨得票率

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2004 年的預測模型
俞振華、蔡佳泓，2006，〈如何利用全國性民調推估地方民意？多
層次貝式定理估計模型與分層加權的應用〉，《台灣政治學刊》，10
（1）：5-38.
用 2000 年總統選舉中民進黨的得票率預測縣市在 2004 年總統選舉
的差異。

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2004 總統選舉民進黨得票率之預測

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結論
1 多層次分析可幫助我們克服次層級 (sub-level) 樣本數不太一致時的
推論問題，得到信賴區間較小、不確定性較低的估計。
2 多層次分析可結合個體與總體資料。
3 如果加上人口資料，進行 MRP 分析，也就是事後加權，即使樣本數
少，仍然可以得到較準確的估計。
4 挑選預測次層級之間差異的總體變數是一大難題，必須配合人口統
計資料。
5 要預測比縣市更小的單位例如立委選舉結果需要長期、大量的訪問
資料。

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報告完畢、敬請指教

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One More Thing. . .

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政大選研中心的網路民調以及市長選舉結果

人口統計應用於選舉預測－蔡佳泓

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