Amvsimi/Drejtimi Financiar --Kapitulli 2 vlera kohore e parase dhe aparati matematik

Ilir HOTI ▐ Amvisimi/Drejtimit Financiar ▐ Kapitulli 2: Vlera Kohore e Parasë

Kapitulli 2
Aplikime të
Matematikës Financiare
në
Financë/Bankë
║Koncepte, Formula dhe Përllogaritje Bazë║

31


2.1║ Vlera Kohore e Parasë
2.1.1-Vlera e Tanishme: Vlera e Tanishme e një të Përvitëshme të Zakonshme/Maturuar
Në një mjedis ekonomik, si në krahun e huamarrësve po ashtu edhe në krehun e huadhënësve,
shumë vendimmarrje ndikohen nga rrjedha e parasë (cash flow) [hyrja dhe dalja e parave] që përjetohet
sot dhe që synohet të ketë në të ardhmen. Prirja për të investuar dhe amvisuar paratë lidhet me aftësinë
e secilit për të mosmbajtur likuiditete të tepërta apo para të plogështa, por për t’i investuar paratë duke
pranuar një shkallë rreziku dhe për të përfituar të mira shtesë –p.sh., interesa, të drejta kapitale, etj.
Të gjitha këto lidhen me konceptin kohor të vlerës së parasë (time value of money) apo me vlerën
kohore të parasë që në vetvete lidhet edhe me koston e oportunitetit të alternativës më të mirë të sakrifikuar.
Koha është përcaktuese për vendimin se deri kur duam t’i investojmë paratë, cfarë alternative
sakrifikuam dhe sa shtohen paratë e investuara në fund të periudhës.
Për shembull, paratë e lëna depozitë bankare kanë kosto oportuniteti mungesën e të mirave që
do të ishin të pranishme sikur paratë të mos depozitoheshin, por të shpenzoheshin duke i shndërruar
në të mira. Nga ana tjetër, paratë e harxhuara sot kanë për kosto oportuniteti fitimet ose paratë shtesë
që do të përftoheshin nëse paraja nuk do të shpenzohej por do të depozitohej, huajepej, etj.

Për këtë arsye, vlera e kohore e parasë është orientuesja në çdo vendim për të shpenzuar, kursyer, investuar,
huadhënë, etj., që has ose zgjedh në jetë një individ dhe/ose subjekt biznesi.
Koncepti kohor i parasë është koncept themelor për një individ apo firmë sa herë që zgjedhin për ti harxhuar sot, apo për ti
investuar për të ardhmen paratë, prandaj konsiderohet si themeli i të gjitha nocioneve financiare që rrokin financat e firmave, të
konsumatorëve dhe financat e qeverisë.

║Vlera e Tanishme1: Koncepti Bazë║
Vlerësimi kohor i parasë ofron përgjigje se çfarë vlere ka sot një shumë të hollash që do të paguhet
në të ardhmen, ose çfarë vlere ka në të ardhmen një shumë të hollash e investuar ose e paguar sot.
Konceptet themelore të vlerës kohore të parasë janë:

Vlera e tanishme (present value -PV) është vlera që do të kishte sot një shumë parash për t’u arkëtuar ose për t’u

paguar në të ardhmen [pas disa ditësh, javësh, muajsh, etj.], pra në një datë të ardhme.

Duke ditur se Vlera e Ardhshme [FV] për tu paguar OSE për tu arkëtuar pas n periudhave është
baraz me vlerën e tanishme shumëzuar me [100%+i%] në fuqi n periudha:
FV = PV*(1+i)n
Atëherë Vlera e Tanishme PV llogaritet raport i shumës në të holla të pagueshme apo të
arkëtueshme në të ardhmen me normën e interesit [i] të n-periudhave të ardhëshme:

1

Vlera e tanishme (present value) nga autore italian njihet edhe si vlera aktuale (valore attuale/presente=actual
value).
32


PV 

FVn
1
 FVn 
 FVn  (1  i )  n
n
n
(1  i )
(1  i )
ku:

PV-vlera e tanishme; │FVn-vlera e ardhshme në periudhën e n-të │i-norma vjetore e interesit; │n-numri i periudhave [për
shembull, i diteve, muajve, viteve]2 │ 1/(1+i)n ose (1+i) −n –faktori i skontos (discount factor -df).
Procesi i llogaritjes së vlerës së tanishme duke u nisur nga vlera e ardhshme quhet skontim (discounting) ose
aktualizim. Për këtë arësye, vlera e tanishme quhet edhe vlerë e skontuar e tanishme (present discounted value).
Nëse shënojmë shumën e arkëtueshme apo të pagueshme në të ardhmen [vlerën e ardhshme]
FV=CFn, faktorin e skontos df=1/(1+i)n dhe Vlerën e Tanishme PV=CF1 atëherë rezulton:
PV= FV*[(1/(1+i)n]CF1 = CFn * df
Shembull 1: Individi AB që gjendet në një mjedis me norma interesi vjetore 10% kërkon të dijë se sa duhet të
investojë sot për të marrë mbas 2 vjetësh një shumë 10 000 €. Për të llogaritur se sa është sot vlera e tanishme e 10
000 Euro të ardhshme zbatohet formula dhe rezulton 8264,463 € = 10000/(1+0,1)2.

Vlera e Tanishme Kumulative
Vlera e tanishme kumulative e disa vlerave të ardhëshme të ndryshme në periudha [vlera të ardhëshme për tu
arkëtuar ose për tu paguar] përcaktohet nga formula:
n

PV  
t 0

FVt
FV0
FVt
FV1
FV2



 ... 
t
0
1
2
(1  i ) (1  i )
(1  i )
(1  i )
(1  i ) t

Shembull 2: Individi AB kërkon të dijë se sa vlerë të tanishme kanë arkëtimet e ardhshme nga një projekt që i
propozohet me rrjedhje parash si në vijim:
(a) pas 2 vjetësh ka për të marrë 10 000€ me normë vjetore interesi 10%,
(b) pas 3 vjetësh ka për të marrë 15000€ me normë interesi 15% dhe
(c) pas 4 vjetësh ka për të marrë 20 000€ me normë interesi 17%.
Zgjidhje
Për të llogaritur se sa është vlera e tanishme për secilat nga vlerat e ardhëshme zbatojmë formulën:
PV(a)=10 000/(1+0.1)2 = 8264,46 € | PV(b) =15 000/(1+0.15)3 = 9862,74 €| PV(b) = 20 000/(1+0.17)4 = 10673 €
ΣPV(a),(b),(c) = 28 800,20€ = 8264,46€ + 9862,74 € + 10673 €

Zbërthimi Ekuacional i Komponentëve të Vlerës Kohore: i=?, n=?
Duke u bazuar në formulën e vlerës së tanishme ose të vlerës së ardhëshme mund të gjendemi
në këto rrethana:
Kërkohet të gjendet Norma e Interesit (i=?) kur na jepet vlera e tanishme (PV), vlera e ardhëshme (FV) dhe
I.
periudhat (n). Zgjidhja bëhet sipas transformimit vijues dhe llogaritja e interesit jepet në []:
FV  PV  (1  i ) n  (1  i ) n 

2

FV
 1 i 
PV

n


FV
  i 
PV


n


FV
 1
PV


Disa autorë në vend të simbolit ‘n’ përdorin ‘t’.
33

II.

Kërkohet të gjendet Periudha e investimit (n=?) kur na jepet vlera e tanishme (PV), vlera e ardhëshme (FV) dhe
interesi (i). Zgjidhja bëhet sipas transformimit që bazohet në lidhjen logaritmike: x=by nga ku y = lnx/lnb

 FV 
 PV  
ln 
  ln 


ln x
FV
 FV  
y
n
 n   PV  
xb  y

 (1  i ) 
ln b
PV
ln(1  i )
ln(1  i ) 






Aplikime të Zbërthimit Ekuacional në Investime
Shembull 3: Nëse Ju keni 10 000 Euro për të investuar dhe ABC ju fton të investoni bashkë në një projekt duke ju
premtuar trefishim të parave tuaja në 5 vjet, ndërkohë që BCD ju fton të investoni në një projekt tjetër duke ju premtuar
katërfishim të parave tuaja në 7 vjet, atëherë për të vlerësuar se në cilën firmë do të investonit, duhet të përcaktoni normën
e shlyerjes [interesin në përqindje që ju ofron secila alternativë]. Për këtë, duke zbatuar formulën e mësipërme rezulton:
rABC=24,57%=(30 000/10 000)1/5 −1 │ rBCD=21,9%=(40 000/10 000)1/7 −1
rABC> rBCD
Kjo d.t.th., se investimi për 3 vjet në ABC ofron shlyerje më të lartë se sa investimi për 7 vjet në BCD.
Shembull 4: Nëse Ju keni 10 000 € për t’i investuar me 10% dhe ju kërkohet të përcaktoni se për sa vjet duhet të realizoni
20 000 € Për këtë duhet të gjejmë n=? . Duke zbatuar formulën e mësipërme rezulton 7,27 vjet:
20 000 = 10 000 x (1+10%)n=?

 20000 
ln

 10000   7,27vjet
n
ln(1  0,1)

Prova: 20 000=10 000 x (1+0,1)7,27
______________

Vlera e Tanishme e një Kësti/të Përvitshmeje
Një e përvitshme është një seri këst-pagesash apo këst-arkëtimesh të barabarta që vërehen në intervale të rregullta
kohore –p.sh., çdo muaj, çdo 3 muaj ose çdo vit. Ky rast haset në huarat me shlyerje/pagesë të pandryshueshme (fixed
payment loan).
■Kur këst-pagesat ose këst arkëtimet vërehen në fund të intervaleve të rregullta kohore –p.sh., në fund të çdo muaji,
në fund të çdo 3 mujori, ose në fund të çdo viti, quhet e përvitshme e zakonshme (ordinary annuity).
■Kur vërehen në fillim të intervaleve të rregullta kohore –p.sh., në fillim të çdo muaji, në fillim të çdo 3 mujori, ose në
fillim të çdo viti quhet e përvitshme e maturuar (annuity due).

Vlera e Tanishme e një Kësti (present value of an annuity -PVA) apo vlera e tanishme e një të
përvitshme3 në njësi monetare, është vlera e tanishme e një shume të ardhme e barabartë me 1.
Formula bazë është:
t

t

n
 1 
PMT
 1  PMT PMT


 ... 
 CF  
PVA PMT 
 
1
2
t


(1 i) (1 i)
(1 i)
t 1  1  i 
t 1  (1  i) 
n

34


Ku
PMT=këst pagesa periodike [PMT=PayMenT]= CF =rrjedhë të hollash [hyrje ose dalje] (Cash in/out flow) │i=norma e interesit
│n=numri i periudhave
t

 1 
Komponenti  
 në formulën e mësipërme quhet vlera e tanishme e faktorit interes për një
t 1  1  i 
të përvitshme (present value interest factor for an annuity –PVIFAi,n) të n periudhave dhe e skontuar me
normë interesit i.
n

_______________

Vlera e Tanishme e një Kësti/Të Përvitshme të Zakonëshme [ PVOA ]
Vlera e tanishme e një të përvitshmeje të zakonshme (present value of an ordinary annuity - PVoa) ose e një kësti
të zakonshëm është vlera e sotme e arkëtimeve [ose e pagesave] të ardhshme të së njëjtës shumë, por që bëhet sipas një
periodiciteti të rregullt në fund të çdo periudhe ndërmjetëse ose përbërëse.
Për shembull, vlera e tanishme e arkëtimeve për 1 vit [periudha tërësore] të një shume 100
Euro në fund të çdo muaji [periudha përbërëse]; ose e parë nga këndvështrimi i palës paguese, është
vlera e tanishme e pagesave për 1 vit [periudha tërësore] të një shume 100 Euro në fund të çdo muaji
[periudha përbërëse].
Kjo jepet nga formula:

1(1i)n 
1(1i)n 
*
PV  PMT 
OA
  Cf *

i
i





Ku:

PMT =Cf= shuma e çdo pagese ose e çdo arkëtimi

periodik në fund të periudhës përbërëse;
i = norma e interesit për periudhën përbërëse;
n= numri i periudhave përbërëse.

PVoa

=

$4 329,48
Shembull 5: Sa duhet investuar sot [PVoa=?] për 5 vjet me normë interesi të përbërë për 6% në vit, për
të pasur 5000 Euro në fund të çdo viti. Në këtë rast PMT=5 000 Euro, n=5, i=6%.
Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]=21 061,82
________________
Shembull 6 [Sinonim]: Sa është vlera e sotme e një depozite bankare 5000€ me 6% që vendoset në fund
të çdo viti për një periudhë 5 vjeçare. Pra, PMT=5 000 Euro, n=5, i=6%.

35

PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]=21 061,82
________________
Shembull 7 [Sinonim]: Sa është vlera e tanishme për tu paguar në 5 vjet primet e një sigurimi jete ndaj
një shoqërie sigurimi, me vlerë 5000 Euro në fund të çdo viti dhe me normë interesi të përbërë për 6%. Pra,

PMT=5 000 Euro, n=5, i=6%.

PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]=21 061,82
________________
Shembull 8 [Sinonim]: Sa është vlera e tanishme për tu arkëtuar në 5 vjet nga një projekt që ofron 5000
Euro në fund të çdo viti me normë shlyerje 6% dhe të kapitalizueshme [të përbërë]. Pra, PMT=5 000 Euro,

n=5, i=6%.

PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]=21 061,82
________________

Nga lidhja dhe shembujt e mësipërm, mund të përcaktohet edhe vlera për tu paguar ose arkëtuar në fund të
çdo periudhe përbërëse në të ardhmen për të pasur një shumë të caktuar parash në të ardhmen.

PMT=? [PVOA]
Shpesh herë na kërkohet se çfarë kësti duhet investuar në fund të një periudhe –p.sh., në fund
të çdo muaji, 3-mujori, viti, etj., për tu përfituar një vlerë e ardhshme. Kjo d.t.th., se duhet të gjejmë
PMT=?.
Konkretisht duke ju rikthyer lidhjes bazë:

1  (1  i )  n 
1  (1  i )  n 
PV OA
PV OA  PMT * 
 Cf * 
  PMT 

i
i
 1  (1  i )  n






i







Shembull 9: Sa duhet investuar në fund të çdo viti që për një periudhë 10 vjeçare të përfitohet shuma
30000 Euro, ndërkohë që norma e përbërë e interesit është 8%. Në këtë rast PVoa=30 000 Euro, n=10,
i=8%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PMT = PVoa /[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 30000[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]=4 470,885
________________
Shembull 10 [Sinonim]: Sa duhet paguar prim sigurimi jete në fund të çdo viti, që për një periudhë 10
vjeçare, i siguruari të përfitojë shumën 30 000 Euro, ndërkohë që shoqëria e sigurimit ofron një normë të
përbërë interesi 8%. Pra, PVoa=30 000 Euro, n=10, i=8%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PMT = PVoa /[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 30000[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]=4 470,885
________________
Shembull 11 [Sinonim]: Sa duhet të depozitojë në bankë në fund të çdo viti, që për një periudhë 10
vjeçare, depozituesi të përfitojë shumën 30 000 Euro, ndërkohë që për depozitën banka i ofron një normë të
përbërë interesi 8%. Pra, PVoa=30 000 Euro, n=10, i=8%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PMT = PVoa /[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 30000[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]=4 470,885

36

________________
Shembull 12 [Sinonim]: Sa duhet të paguajë në fund të çdo viti një person fizik/juridik AB, që për një
periudhë 10 vjeçare, AB të shlyejë detyrimin gjithsej për 30 000 Euro dhe me normë interesi 8%. Pra,
PVoa=30 000 Euro, n=10, i=8%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PMT = PVoa /[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 30000[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]=4 470,885
________________

Konkretizim [Leasing]
Shembull 13/a: Firma Siemens i ofron Klinikës XYZ një makineri mjekësore me qira financiare (leasing) për 500
Euro të pagueshme në fund të çdo muaji dhe për një periudhë 5 vjeçare. Firma Siemens vendos që marrësi me qira i
makinerisë do të bëjë një pagesë të menjëhershme për 2000 Euro në fund [pas 5 vjetësh]. Duke ditur që norma
vjetore e interesit të kredisë bankare është 12%, të përcaktohet vlera e makinerisë.
Zgjidhje
PMT=500 Euro për 1 muaj [periudhë përbërëse e 5 viteve], 1=12% vjetore=1% mujore; n=60 periudha përbërëse [=5 vjet x 12 muaj].

Në këtë rast kemi dy këste të zakonshme (a)+(b):
(a) 500 Euro të pagueshme në fund të çdo muaji për 5 vjet
(b) Vlerën e tanishme të 2000 Euro të pagueshme në fund të vitit të 5-të si shumë e
vetme.
PVoa(a) = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n)) / i] = 500*[(1 - (1 / (1 + 0,01)60)) / 0,01]=22 477,52

PVoa(a) = FV[1/(1 + i)n] = 2000*[1/ (1 + 0,01)60=1 100,9
Vlera e tanishme e qirasë financiare për përftimin e makinerisë është 23578,42 Euro [=22477,52 + 1 100,9],
ndërkohë që Klinika XYZ në vend që të paguajë pas 5 vjetësh 2000 Euro, mund të paguajë sot 1100,9 Euro, sepse në
këtë rast 1100,9 Euro sot janë baraz me 2000 Euro pas 5 vjetësh [kur norma e interesit është 12% në vit apo 1% në
muaj].
Shembull 13/b: Firma Peugeot ofron shitjen e një automjeti tip Peugeot 308 ku blerësi mund të zgjedhë një nga
3 alternativat, duke marrë në konsideratë se norma e interesit për të huamarrë është 12%:
(a) Pagesë e menjëhershme totale për 14 000 € [PV1=14 000€]
(b) Pagesë e menjëhershme sot 5 000€ dhe në fund të vitit të parë [12 muaj më pas] 2 000€, në fund të vitit të
dytë 3 000€, në fund të vitit të tretë 3 000€ dhe në fund të vitit të katërt 4 000€
(c) Pagesë e menjëhershme sot 3 000€ dhe në fund të vitit të parë [12 muaj më pas] 4 000€, në fund të vitit të
dytë 4 000€, në fund të vitit të tretë 2 000€ dhe në fund të vitit të katërt 2 000€
Zgjidhje
(a) PVa= 14 000,0 €
(b) PVb= 13 944,6 € =5000+1875.7+2391,6+2135,3+2542
ΣPVb= 5000+2000/(1+0,12)1+3000/(1+0,12)2+3000/(1+0,12)3+4000/(1+0,12)4
(c) PVc= 13 802,0 € =3000+3571,4+3188,8+2135,3+1906,5
ΣPVb= 3000+4000/(1+0,12)1+4000/(1+0,12)2+3000/(1+0,12)3+3000/(1+0,12)4
Pergjigja: Autovetura duhet blerë sipas alternativës (c) sepse ka vlerë të tanishme më të ulët [=13 802€] nga të dy
alternativat e tjera.
______________

37


Vlera e Tanishme e një Kësti/Të Përvitshme të Maturuar [ PVAD ]
Vlera e tanishme e një të përvitshmeje të maturuar (present value of an annuity due - PVad) është vlera e
tanishme e arkëtimeve [ose e pagesave] të ardhshme si këste në shuma të barabarta, por që kryhen në fillim të periudhave
ndërmjetëse ose përbërëse të një periudhe tërësore.
Për shembull, vlera e tanishme e
arkëtimeve për 1 vit [periudha tërësore] të një
shume 1000 Euro në fillim të çdo muaji
[periudhat përbërëse]; ose e parë nga
këndvështrimi i palës paguese i referohet vlera e
tanishme e pagesave për 1 vit [periudha tërësore]
të një shume 1000 Euro në fillim të çdo muaji
[periudha përbërëse].
Vlera e tanishme e një të përvitshmeje të
maturuar [Pvad] është baraz me Vlera e tanishme e
një të përvitshmeje të zakonshme [Pvoa] por e shumëzuar për [1+i] sepse pagesa ose arkëtimi bëhet në fillim
periudhe.
Në formë të përgjithësuar, Vlera e tanishme e një të përvitshmeje të maturuar [Pvad] jepet nga
formula4:
PVad= $4 545,95

PV

AD

 1  (1  i )  n 
 1  (1  i )  n 
 (1  i )  Cf  
 PV OA  (1  i )  PMT  
  (1  i )

i
i





Ku:
Cf=PMT = shuma e çdo pagese periodike në fillim të periudhës përbërëse;
i = norma e interesit për periudhën përbërëse│n= numri i periudhave përbërëse.
Shembull 14: Sa është vlera e tanishme për tu investuar në 5 vjet me normë interesi të përbërë për 6% në vit, për
të arkëtuar 5000 Euro në fillim të çdo viti. Në këtë rast PMT=5 000 Euro, n5, i=6%. Duke zëvendësuar në formulë
gjendet:
PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n+1)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]*(1+0,06)=22325,53
________________
Shembull 15 [Sinonim]: Sa është vlera e tanishme për tu arkëtuar në 5 vjet nëse vendosim depozitë bankare 5000
Euro në fillim të çdo viti me normë interesi të përbërë për 6%. Pra, PMT=5 000 Euro, n+1=5+1=6, i=6%. Duke
zëvendësuar në formulë gjendet:
PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n+1)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]*(1+0,06)=22325,53
________________
Shembull 16 [Sinonim]: Sa është vlera e tanishme për tu paguar në 5 vjet ndaj një investitori që na huajep 5000
Euro në fillim të çdo viti dhe me normë interesi të përbërë për 6%. Pra, PMT=5 000 Euro, n+1=5+1=6, i=6%. Duke
PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n+1)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]*(1+0,06)=22325,53
________________

4

Nga funksionet eksponenciale dihet se 1/(1+i)n = (1+i)‾ n

38

Shembull 17 [Sinonim]: Sa është vlera e tanishme për tu paguar në 5 vjet primet e një sigurimi jete ndaj një
shoqërie sigurimi, me vlerë 5000 Euro në fillim të çdo viti dhe me normë interesi të përbërë për 6%. Pra, PMT=5 000
Euro, n+1=5+1=6, i=6%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n+1)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]*(1+0,06)=22325,53
________________
Shembull 18 [Sinonim]: Sa është vlera e tanishme për tu arkëtuar në 5 vjet nga një projekt që ofron 5000 Euro në
fillim të çdo viti me normë shlyerje 6% dhe të kapitalizueshme [të përbërë]. Pra, PMT=5 000 Euro, n+1=5+1=6, i=6%.
PVoa = PMT [(1 - (1 / (1 + i)n+1)) / i] = 5000[1−(1/(1+0.06)5)/0,06]*(1+0,06)=22325,53

Nga shembujt e mësipërm, mund të përcaktohet edhe vlera për tu paguar ose arkëtuar në fillim të çdo periudhe
përbërëse në të ardhmen për të pasur një shumë të caktuar parash në të ardhmen.

PMT=? [PVOA]
Konkretisht duke ju rikthyer lidhjes bazë:

1  (1  i )  n 
PVOA  (1  i )
PV AD
PV AD  PMT  

  (1  i )  PMT 
n
i
 1  (1  i ) 
 1  (1  i )  n 



  (1  i ) 
  (1  i )




i
i




Shembull 19: Sa duhet investuar në fillim të çdo viti që për një periudhë 10 vjeçare të përfitohet shuma 30 000
Euro, ndërkohë që norma e përbërë e interesit është 8%. Në këtë rast PVoa=30 000 Euro, n=10, i=8%. Duke
PMTad = PVad /[[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i]*(1+i)] = 30000/[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]*(1+0,08)=4 139,71
________________
Shembull 20 [Sinonim]: Sa duhet paguar prim sigurimi jete në fillim të çdo viti, që për një periudhë 10 vjeçare, i
siguruari të përfitojë shumën 30 000 Euro, ndërkohë që shoqëria e sigurimit ofron një normë të përbërë interesi 8%.
Pra, PVoa=30 000 Euro, n=10, i=8%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PMTad = PVad /[[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i]*(1+i)] = 30000/[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]*(1+0,08)=4 139,71
________________
Shembull 21 [Sinonim]: Sa duhet të depozitojë në bankë në fillim të çdo viti, që për një periudhë 10 vjeçare,
depozituesi të përfitojë shumën 30 000 Euro, ndërkohë që për depozitën banka i ofron një normë të përbërë interesi
8%. Pra, PVoa=30 000 Euro, n=10, i=8%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PMTad = PVad /[[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i]*(1+i)] = 30000/[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]*(1+0,08)=4 139,71
________________
Shembull 22 [Sinonim]: Sa duhet të paguajë në fillim të çdo viti një person fizik/juridik AB, që për një periudhë 10
vjeçare, AB të shlyejë detyrimin gjithsej për 30 000 Euro dhe me normë interesi 8%. Pra, PVoa=30 000 Euro, n=10,
i=8%. Duke zëvendësuar në formulë gjendet:
PMTad = PVad /[[(1 - (1 / (1 + i)n)) / i]*(1+i)] = 30000/[[1−(1/(1+0.08)10)/0,08]*(1+0,08)]=4 139,71
_________________

39


2.1.2▬Vlera e Tanishme Neto = Vlera Aktuale Neto [NPV]
Vlera e tanishme neto (net present value -NPV) është diferenca e vlerës së tanishme që trajtuam
më lart [PV] të një rrjedhje tël ardhshme në të holla me investimin fillestar [I]:
T

NPV  PV  I  
t 1

CFt

1  i t

 CF0

ku: PV=Vlera e Tanishme; I-vlera e investuar
NPV=Vlera e Tanishme Neto│CFt==Vlera e Ardhshme në periudhën t│1/(1+r) t =Faktor i skontos së vlerës së ardhshme në vlerë
të tanishme kundrejt normës së interesit r për t periudha │t=periudhat përbërëse të periudhës tërësore T│CFo=vlera
fillestare e investuar

Vlera e tanishme neto është koncept themelor në bankë dhe investime. Diferenca pozitive PV>I d.t.th., se arkëtimet nga
një investim si vlerë e tanishme (present value -PV) tejkalojnë vlerën e investuar [I] apo koston e kapitalit.
Për shembull, nëse një individi i kërkohet të investojë në aksionet e një banke , ai e bën këtë
për një normë minimale të kërkuar të shlyerjes (minimum required rate of return) që përkthehet si hyrje
neto në të holla (net cash inflow -ci) [arkëtime minus pagesa] që do të ketë individi në fjalë nga
vendimmarrja për të investuar p.sh., në aksionet e bankës.
Shembull 23: Një bankë ka huadhënë sot ndërtesë me vlerë të sotme [të tanishme] në treg për 1 250 000 € për të
cilën është investuar 1 100 000 d.t.th., se ka vlerë neto të tanishme për 150 000 €= 1 250 000 € – 1 100 000 €.

Rregull i vlerës neto të tanishme është kriteri bazë për pranimin e një investimi/projekti apo vendimi –për shembull,
një projekt pranohet, vetëm nëse rezulton me vlerë të tanishme neto pozitive; në çdo rast tjetër, projekti/vendimi refuzohet!

Një projekt apo vendim konsiderohet i pranueshëm nëse ka NPV>0.

Vlera neto e tanishme është zbatim i faktorëve të skontos (discount factors) duke u bazuar në një
normë të kërkuar të shlyerjes (required rate of return). Kur investimi rrok disa periudha kohore, ka
rёndёsi tё njihet dhe tё zbatohet vlera e tanishme neto e pёrbёrё e cila llogaritet qoftë si normë
interesi por edhe si kosto kapitali [k] si vijon:

ku:

CFt=rrjedhja e pritshme në të holla në
periudhën t,
k=kostoja margjinale e projektuar e
kapitalit,

n=numri i periudhave.
Nga formula e mësipërme, vlera neto e tanishme është e barabartë me vlerën e tanishme të rrjedhjeve të ardhshme në
të holla të skontuar me koston margjinale të kapitalit.
Shembull 24: Korporata ABC studjon një investim në një linjë të re prodhimi që kushton 100 000 USD si
investim i menjëhershëm dhe me shpenzime operative të përvitshme për 5 000 USD/vit. Nga shitja e

40

produkteve të linjës së re parashikohen 30 000 USD arkëtime neto [pas taksave] në vit dhe kjo zgjat për një
periudhë 4 vjeçare. Aksionarët kërkojnë një normë shlyerje për 10%. Në vitin e parë nuk ka arkëtime por
vetëm pagesa për investimin, ndërkohë që vitet e tjera ka 30 000 USD arkëtime dhe 5 000 USD pagesa
[shpenzime]. Më poshtë jepet grafikisht [në boshtin vertikal vlera dhe boshtin horizontal vitet] dhe me tabelë
ecuria e NPV5:
Periudhat
[Vitet]

Viti ‘0’
Viti ‘1’
Viti ‘2’
Viti ‘3’
Viti ‘4’
Viti ‘5’
Viti ‘6’

Arkëtime

−100000/(1+0,1)0 =
(30000−5000)/(1+0,1)1 =
(30000−5000)/(1+0,1)2 =
(30000−5000)/(1+0,1)3 =
(30000−5000)/(1+0,1)4 =
(30000−5000)/(1+0,1)5 =
(30000−5000)/(1+0,1)6 =
Vlera Neto e Tanishme >0 =

Vlera e Tanishme

− 100 000,00
22 727,00
20 661,00
18 783,00
17 075,00
15 523,00
14 211,00
+ 8 881,52

Duke qenë se vlera neto e tanishme është
pozitive, projekti duhet pranuar nëse nuk ka një
alternativë tjetër që të ofrojë një vlerë neto të
tanishme më të lartë.

Metoda e Vlerës Neto të Tanishme: Të Pranosh/Të Refuzosh një Projekt Investimi
Metoda e vlerës neto të tanishme (net present value method) aplikohet pёr vlerёsimin e
frytshmërisё sё një vendimi ose tё pranimit/refuzimit tё njё projekti. Metoda bazohet në këto hapa:
(a) Gjendet Vlera e Tanishme e secilës rrjedhje në të holla [arkëtime dhe pagesa] të skontuara me koston e kapitalit të projektit,
(b) Mblidhen të gjitha vlerat neto të rezultuara sipas pikës 1,
(c) Nëse vlera neto e tanishme rezulton pozitive [NPV>0] atëherë projekti pranohet dhe në të kundërtën refuzohet.
Shembull 25: Firma ABC studjon një projekt me këto të dhëna:
Investimi fillestar [I] =12,950 USD | Jetëgjatësia (n)=10 vjet |Hyrjet vjetore në të holla 3,000 USD;
Norma minimale e kërkuar e shlyerjes ose kostoja e kapitalit = 12%
Firma për të vendosur për projektin së pari llogarit vlerën e tanishme [PV] të hyrjeve në të holla [PV=
ci*PVj] apo vlera e tanishme e 1 USD për 10 vjet dhe e normës 12% për 10 vjet [=5.65].
Atëhere:
[3000 USD*5.65=USD16,950]=PV; I=12,950; NPV=16,950-12950=4000 USD.
Përderisa vlera neto është pozitive, atëherë projekti pranohet.
Koncepti dhe metoda e vlerës së tanishme aplikohet si metodë vlerësimi i vlerës neto për
projekte alternative [për vendime optimale] për të zgjedhur se cili projekt investimi është me

5

Vija horizontale përfaqëson arkëtime neto për 25 000 USD [=30000 - 5000] të paskontuara me faktorin e interesit (1+0,1)t,
ndërsa vija rënëse përfaqëson ecurinë e skontuar të rrjedhjes neto në të holla apo 25000/(1+0,1)t.

41

fitimshlyerës. Metoda krahason shumën e kërkuar të investimit me vlerën e tanishme të hyrjeve të
ardhshme në të holla skontuar me normën minimale të pranuar të shlyerjes.
_______________

2.1.3▬Vlera e Ardhshme: E Thjeshtë dhe me Kapitalizim [E Përbërë]
Vlera e ardhshme (future value) e një shume e cila investohet ose paguhet sot, është vlera pas një periudhe kohe të
dhënë [muaj, vit, etj.] p.sh., pas “n”6 periudhash e shumës së tanishme qё investohet sot.
Vlera e ardhshme përdoret nga investitorët për të përcaktuar frytshmërinë e një vendimi për
investim –p.sh., për të depozituar një shumë parash sot në bankë përcaktohet se sa vlerë të ardhshme
do të kenë p.sh., pas 6 muajsh, pas 1 viti, pas 2 vjetësh, etj.; në mënyrë të ngjashme nëse me një shumë
parash sot blihen aksione, çelet një biznes/veprimtari, etj., secili investitor duke marrë në konsideratë
një normë të pritshme ose të kërkuar fitimi përcakton se sa vlerë të ardhshme do të ketë shuma e parave
të investuara sot.
Në analizën e vlerës kohore të parasë dallohen:
1-Vlera e ardhshme sipas kapitalizimit të thjeshtë,
2-Vlera e ardhshme sipas kapitalizimit të përbërë,
3-Vlera e ardhshme e një rryme apo ecurie pagesash/investimesh në shuma të barabarta

Vlera e Ardhshme sipas Kapitalizimit të Thjeshtë
Vlera e ardhshme sipas kapitalizimit të thjeshtë [FVn] bazohet në periudhat përbërëse njësi –
p.sh., në vite dhe jo në nënperiudha –p.sh., në muaj. Vlera e ardhshme sipas kapitalizimit të thjeshtë e
normës së interesit, normës së shlyerjes, etj., llogaritet me formulën:
FVn=PV(1+i)n
ku:
FVn-vlera e ardhshme në përiudhën “n”│PV-vlera e tanishme e shumës themelore/kryegjësë së investuar;
i-norma e interesit, │n=numri i periudhave përbërëse kapitalizuese –për shembull, vjetore.
Shembull 26: Individi AB vendos 2000 € depozitë për vajzën/djalin e tij që janë 5 vjeç për t’i tërhequr
paratë pas 25 vjetësh. Vlera e Ardhshme [FVn=20vjet] e 2000 € është:
FVn=3vjet=21 669 € = 2000*(1+0.1)25
Shembull 27: Individi BC investon duke blerë një instrument financiar me vlerë të emërtuar 1000 €, afat
maturimi për 10 vjet dhe normë interesi të pandryshueshme për 6%. Sa rezulton vlera e instrumentit pas 5 vjetësh dhe
pas 10 vjetësh.
(a) Pas 5 vjetësh Vlera e Ardhshme [FV] e 1000 € është:

1338,22 €= 1000*(1+0.06)5

(b) Pas 10 vjetësh Vlera e Ardhshme [FV] e 1000 € është: 1790,85 €= 1000*(1+0.06)10

6

Në shumë autorë, numri i periudhave referohet me “t” [t=tempo=kohë].

42

Shembull 28: Nëse banka XYZ pranon një depozitë me vlerë 100 000 Euro, të patërheqshme nga
depozituesi për një afat maturimi për 2 vjet dhe me interes 8%, atëherë kostoja nominale e bankës për këtë depozitë
në fund të vitit të dytë është:
Kostoja e Bankës=16 640 € =116 640(1+0,08)2 −100 000
___________________

Vlera e Ardhshme sipas Kapitalizimit të Përbërë
Vlera e ardhshme sipas kapitalizimit të përbërë d.t.th., se brenda një periudhe tërësore të një
investimi –p.sh., brenda 1 viti, kёrkohet tё pёrcaktohet vlera e ardhshme duke marrё nё konsideratё
faktin se në sa nënperiudha kapitalizohet interesi ndaj shumës themelore –p.sh., për çdo muaj, pёr çdo
3 muaj, etj.
Për shembull, nëse në një investim 1 vjeçar interesat kapitalizohen si mujore, atëherë denduria
e përbërjes (compound frequency) me nёnperiudha e njё periudhe tёrёsore 1 vit është 12 muaj; dhe nëse
investimi do të ishte 2 vjeçar dhe interesat kapitalizohen si mujore, atëherë denduria e përbërjes është
12muaj x 2 vjet, pra gjithsej 24 muaj.
Bazuar në këtë arsyetim, komponenti eksponencial n që është numri i periudhave kapitalizuese
si vjetore, rezulton nga shumëzimi i numrit të viteve në maturim [për shembull, 2 vjet] dhe që e
shënojmë me Y, me numrin e nënperiudhave përbërëse për 1 vit që e shënojmë me m [m=12 muaj, Y=2
vjet, m*Y=n=24 muaj]. Nёse nёnperiudhat do tё ishin javore atёherё m=52 javё, Y=2 vjet, m*Y=n=104
muaj. Në këto rrethana vlera e ardhshme sipas kapitalizimit të përbërë llogaritet me formulën:

i 

FV  PV  1  
 m

n  mY

i 

OSE  FV  PV  1  
 m

mn

Shembull 29: Sa është vlera e ardhshme e 100 € të investuar me normë vjetore interesi 10% për dy vjet
dhe me kapitalizim: (a) javor? (b) të përmuajshëm? (c) 6-mujor? (d) vjetor?
Zgjidhja:

(a) I0 =PV =100 € dhe m=52 javë, Y=2 vjet, n =m*Y=52*2=104 javë atëherë: FV =100€*(1+0,1/52)104 = 122,12€
(b) I0 =PV =100 € dhe m=12 muaj, Y=2 vjet, n =m*Y = 24 muaj atëherë: FV =100€*(1+0,1/12)24 = 122,04€
(c) I0 =PV =100 € dhe m= 2 gjashtëmujorë, Y=2 vjet, n =m*Y =4 gjashtëmujorë atëherë: FV =100€ *(1+0,1/2)4 = 121,55€
(d) I0 =PV =100 € dhe n = 2 vjet atëherë: FV = PV(1+i)n = 100*(1+0,1)2= 121,00€
________________

Vlera e Ardhshme e një Kësti apo të Përvitshme të Zakonshme [FVOA]
Vlera e Ardhshme e një rryme apo ecurie pagesash të barabarta që bëhen në mënyrë periodike në
fund të çdo periudhe përbërëse të një periudhe tërësore.
Për shembull vlera e ardhshme e kёsteve të shlyerjes sё kredisё çdo vit për n vite të
kontraktuara, pagesa periodike e kontributeve pensionale, e primeve të sigurimeve, etj.
Ecuria e pagesave të barabarta quhen edhe këste pagesash ose të përvitshme.

43

Vlera e Ardhshme e një rryme apo ecurie pagesash të barabarta informon se sa vlerë e ardhshme krijohet ose
akumulohet nga një rrjedhë pagesash që kryhen në masë të barabartë dhe periodicitet të rregullt kohor –p.sh., çdo muaj, çdo vit,
etj., duke përfshirë shumën themelore që paguhet [ose arkëtohet] plus interesat.
Në praktikë Vlera e Ardhshme e një të Përvitshmeje përdoret për të llogaritur shumën përritëse të
akumuluar si themelore dhe interesa në një depozitë me afat, në një depozitë kursimi, shumën përritëse
të akumuluar të kontributeve që investohen në një plan pensioni, në një sigurim jete, etj. Më gjerë në
mjedisin bankar, Vlera e Ardhshme e një të Përvitshmeje përdoret për të llogaritur se sa vlerë krijohet në të
ardhmen nga një bankë për kredi të ofruara mesatarisht çdo muaj dhe kundrejt një norme interesi, etj.
Një këst që paguhet në fund të secilës periudhë kapitalizimi, quhet këst i zakonshëm (ordinary annuity)
Vlera e ardhshme e këstit të zakonshëm (Future Value of an Ordinary Annuity -FVOA) i referohet
vlerës së ardhshme të një kësti në para që paguhet në fund të çdo periudhe përbërëse ose në fund të
çdo periudhe kapitalizimi dhe llogaritet me formulën:
Të arkëtueshme ose të pagueshme në fund të çdo periudhe

 1  i n  1
FVOA  PMT * 
  CF
i



 1  i n  1
*

i



Ku:
FVOA= vlera e ardhshme e një kësti të zakonshëm;
PMT =CF=shuma e pagesës periodike;
n=numri i periudhave të përbërjes apo të kapitalizimit;
i=norma e interesit ose norma e skontos;

Periudha 1, 2, 3, 4, 5 –p.sh., muaj, vite, etj.

Shembull 30/a: Nëse në fund të çdo viti, individi AB investon
1000 Euro për 5 vjet me një normë vjetore interesi që është kontraktuar
5%. Sa është vlera e ardhshme e këtij investimi –p.sh., në depozitë, kontribut
pensioni, etj.?
Vlera e Ardhshme e një Kësti të Zakonshëm FVOA

5525,64

Duke zëvendësuar në formulë rezulton: FVOA=1000[((1+0,05)5-1)/0,05]=
= 5525,64 Euro

Formula e mësipërme presupozon një lakore të sheshtë rendimenti (flat yield curve), prandaj aplikohet në investimet e
parave në afat shkurtër dhe jo për afat gjatë. Nga ana tjetër, duhet mbajtur parasysh se norma e interesit duhet ti përshtatet
periudhës së kapitalizimit, për shembull, nëse është normë mujore norma e interesit duhet kapitalizuar me muaj [numri viteve
shumëzuar me 12 muaj të vitit].
Shembull 30/b: Kërkohet sa është vlera e akumuluar [vlera
e ardhshme] e një pagese prej 25 € për t’u bërë në fund të
secilit vit përbërës të një periudhe tërësore trevjeçare,
ndërkohë që norma e përbërë apo e kapitalizuar vjetore e
interesit është 9% [=0,09], atëherë problemi zgjidhet si vijon:
Shtrimi i Problemit:

44

FV=? n= 3 vjet PMT= 25 € i = 0,09


Duke zëvendësuar në formulën e FV kemi:

FV = PMT*[(1+i)n-1]/i = 25€ * [(1+0,09)3-1]/0,09 = 81,95 €

Sikurse shihet pagesat e çdo 25 € kryhen në fund të periudhës [për shembull, jo në pikën
(vitin) zero por në pikën 1] e kështu në vijim.
PMT=? [FVOA]
Nga formula e FVOA mund të nxirret vlera e tanishme e një pagese apo arkëtimi [PMT] si vijon:
PMT 

FV AD
 (1  i )  1 


i


n



i  FV AD
(1  i ) n  1

Shembull 31: Nëse një individ interesohet të dijë se: Çfarë shume duhet të investojë si kontribut
pensional që pas 10 vjetësh të ketë në llogarinë pensionale 20 000 Euro dhe nëse norma vjetore e interesit që ofron
fondi i pensioneve është 4%. Kërkohet: Sa është vlera e ardhshme e këtij investimi –p.sh., në depozitë, kontribut
pensioni, etj.?
Nga formula rezulton se:
FVOA= PMT [((1+0,05)5-1)/0,05]= 20 000 Euro,
Prej ku rrjedh se PMT = i*FVAD/[(1+i)n-1] duke zëvendësuar rezulton se në vit i siguruari për pension duhet të
paguajë 1665,82 Euro:
PMT= 1 665,82 = 0,04*20000/(1,0410-1)

Vlera e Ardhshme e një Kësti apo të Përvitshme të Maturuar [FVAD]
Vlera e Ardhshme e një Kësti apo të Përvitshmeje të Maturuar (Future Value of an Annuity Due - FVAD) i referohet
kësteve të ardhshme që paguhen ose arkëtohen në masë të barabartë në fillim të periudhave përbërëse të një periudhe tërësore.
Vlera e Ardhshme e një të Përvitshmeje të Maturuar [FVAD] llogaritet sipas skemës:
Të arkëtueshme ose të pagueshme në fillim të çdo periudhe

Periudha 1, 2, 3, 4, 5 –p.sh., muaj, vite, etj.

Vlera e Ardhshme e një Kësti të Zakonshëm FVOA

5801,92

Skema e mësipërme e shprehur me formulë paraqitet:

 1  i n  1
 1  i n  1
FVAD  PMT * 
* (1  i)  CF * 

 * (1  i)  FVOA * (1  i)
i
i




Ku:

FVAD= vlera e ardhshme e një kësti të maturuar│PMT =CF=shuma e këst-pagesës periodike│n=numri i periudhave të përbërjes
apo të kapitalizimit │ i=norma e interesit ose norma e skontos;

45

Shembull 32: Nëse në fillim të çdo viti, individi AB investon 1000 Euro me 5% dhe për një periudhë 5 vjet
dhe, kërkohet se, sa është vlera e ardhshme e këtij investimi –p.sh., në depozitë, kontribut pensioni, etj.? Duke
zëvendësuar në formulë rezulton:
FVOA=1000[((1+0,05)5-1)/0,05]*(1+0,05)= 5801,92 Euro
_____________

Nga lidhja dhe shembujt e mësipërm, mund të përcaktohet edhe vlera për tu paguar ose për tu arkëtuar në fillim të çdo
periudhe përbërëse në të ardhmen për të pasur një shumë të caktuar parash në të tashmen.
Vlera e tanishme e një pagese apo arkëtimi [PMT] si vijon:

PMT 

FV AD
 (1  i )  1

 * (1  i )
i


n

Shembull 33: Nëse individi AB që sot është 25 vjeç synon që (a) pas 10 vjetësh dhe/ose (b) pas 15 vjetësh të blejë
një apartament me vlerë rreth 60 000 Euro, dhe për të realizuar këtë duhet të investojë në një Fond Investimi XYZ.
Kërkohet se sa sa para duhet të vendosë individi AB në fillim të çdo viti [PMT=?] në Fondin e Investimit XYZ që ofron një
normë kapitalizimi për 5% ne vit.
(a) Duke u zëvendësuar në formulën e mësipërme, rezulton se PMT = 4 543,12€ = 60 000/[(1,0510-1)/0,05]*1,05
(b) Duke u zëvendësuar në formulën e mësipërme, rezulton se PMT = 2 648,13€ = 60 000/[(1,0510-1)/0,05]*1,05

Vlera e Ardhshme Kumulative: E Vlerave të Tanishme të Investuara në Alternativa të Ndryshme
Shpesh herë gjendemi në rrethana kur disa shuma të tanishme investohen (a) me afate kohore të
ndryshme por me normë interesi të njejtë, (b) me afat kohor të njejtë por me norma interesi të ndryshme dhe (c) me
afat kohor të ndryshëm dhe me interesa të ndryshme.
Secilin variant të mësipërm e konkretizojmë me tre shembuj:
Shembull 34/a: Nëse individi AB disponon 100 000€ nga të cilat i investon sot në 3 depozita me normë interesi
vjetore për 12% dhe sipas këtyre afateve: (a) 30 000€ në një depozitë 2 vjeçare; (b) 50 000€ në një depozitë 4 vjeçare
dhe (c) 20000€ në një depozitë 5 vjeçare. Kërkohet sa është vlera e ardhëshme e 100 000€ të investuara sot sipas
alternativave të mësipërme.
Zgjidhje
ΣFVn=FV1+ FV2+ FV3
ΣFVn= 151 554,80€ = 30 000*(1+0,12)2+ 50 000*(1+0,12)4+ 20 000*(1+0,12)5
Shembull 34/b: Nëse individi AB disponon 100 000€ nga të cilat i investon sot për 4 vjet në 3 banka: (a) Tek banka
BCD depoziton 30 000€ me interes 12%; (b) Tek Banka CDE depoziton 50 000€ me interes 13%; dhe (c) Tek banka DEF
depoziton 20000€ me interes 12,5%. Kërkohet sa është vlera e ardhëshme e 100 000€ të investuara sot sipas
alternativvave të mësipërme.
Zgjidhje
ΣFVn=FV1+ FV2+ FV3
ΣFVn= 160 765,40€ = 30

000*(1+0,12)4+

50

000*(1+0,13)4+

20 000*(1+ 0,125)4

Shembull 34/c: Nëse individi AB disponon 100 000€ nga të cilat i investon sot në 3 depozita: (a) 30 000€ në një
depozitë 2 vjeçare me kapitalizim vjetor 12%; (b) 50 000€ në një depozitë 4 vjeçare me kapitalizim vjetor 14%; dhe
46

20000€ në një depozitë 5 vjeçare me 14,5%. Kërkohet sa është vlera e ardhëshme e 100 000€ të investuara sot sipas
alternativvave të mësipërme.
Zgjidhje
ΣFVn=FV1+ FV2+ FV3
ΣFVn= 160 588,30€ = 30 000*(1+0,12)2+ 50 000*(1+0,14)4+ 20 000*(1+0,145)5
______________________

2.2║ Vlera Kohore e Parasë: Lidhja e Komponentëve
2.2.1▬Lidhja Funksionale brenda PV
Lidhja funksionale ndërmjet PV, FV, i dhe n, rezulton nga zbërthimi i formulës së vlerës së
tanishme ku secila merret në pozitën e një argumenti dhe njëra si funksion. Drejtimet kryesore
bazohen tek formulat e PV dhe janë:
│PV=FV/(1+i)n

1-Vlera e tanishme [PV] ka lidhje të drejtë me Vlerën e Ardhshme [FV], që d.t.th., se një
vlerë më e lartë e ardhshme, në kushte të tjera të pandryshueshme [normë interesi dhe numri i
periudhave], ofron një vlerë të tanishme më të lartë; dhe e kundërta. Ekonomikisht d.t.th., se një vlerë
më e madhe e tanishme që investohet sot ofron një vlerë më të madhe në të ardhmen; dhe e kundërta.
Shembull 35: Nëse gjendeni përballë dy skema pensioni, ku Fondi i Pensionit ABC ju ofron 16 290 € pas 10 vjetëve
dhe, Fondi i Pensionit BCD ju ofron 17 000 € pas 10 vjetëve, cili ju ka ofruar vlerën e tanishme më të lartë nëse në
momentin që flasim norma vjetore e interesit të të mirave të thesarit është 5%? Për këtë kërkohet të skontojmë
secilën vlerë të ardhshme si vijon:
1) Për Fondin ABC n=10, FV=16 290€ atëherë PVABC=FVABC/(1+0,05)10=16290/1,0510=10 000,0 €
2) Për Fondin BCD n=15, FV=17 000€ atëherë PVABC=FVABC/(1+0,05)10=17000/1,0510= 10 436,5 €
Kuptohet që Fondi i Pensionit BCD ofron vlerë të tanishme më të lartë [10 436,5 €] në krahasim me Fondin e
Pensionit ABC [10 000€].

2-Vlera e tanishme [PV] ka lidhje të zhdrejtë me normën e interesit [i], që d.t.th., se një
normë më e lartë interesi, në kushte të tjera të pandryshueshme, ofron një vlerë të tanishme më të ulët
sepse vlera e ardhshme [FV] skontohet [pjestohet] me indeks më të lartë të normës së interesit [1+i]; dhe e
kundërta. Ekonomikisht d.t.th., se e njëjta vlerë e tanishme e investuar me norma më të larta interesi
ofron vlerë të ardhshme më të lartë, ndërkohë që një vlerë e ardhshme që skontohet [pjestohet] me
normë më të lartë interesi ofron vlerë të tanishme më të ulët.

i = (FV / PV)1/n − 1 = (PV/FV) −1/n −1
Shembull 36: Nëse Ju keni 10 000 Euro për të investuar dhe firma ABC ju fton të investoni në të duke ju premtuar
trefishim të parave tuaja në 5 vjet, ndërkohë që edhe firma BCD ju fton të investoni në të duke ju premtuar katërfishim
të parave tuaja në 7 vjet. Cila alternativë ofron normë shlyerje më të lartë?
Zgjidhje

47

Duke parë që PV=10 000€, FVABC 5 vjet=30 000€; FVBCD 7 vjet=40 000€ atëherë për të vlerësuar se në cilën firmë do të
investonit do të shohim se cila firmë na ofron nërmon më të lartë të shlyerjes [interesin]:
1-Shlyerja që ofron ABC për 5 vjet [n=5]

iABC=24,573%=(10 000/30 000)−1/5 −1 = 24,573%

2-Shlyerja që ofron BCD për 7 vjet [n=7]

iABC=21,901%=(10 000/40 000)−1/7 −1 = 21,901%

3-Vlera e tanishme [PV] ka lidhje të zhdrejtë me numrin e periudhave të kapitalizimit [n] të
interesit, që d.t.th., se në kushte të tjera të pandryshueshme, një numër më i madh periudhash [n] të
kapitalizimit të normës së interesit, të normës së shlyerjes apo të normës së fitimit, kërkon një vlerë të
tanishme më të ulët për të investuar apo për të përftuar të njëjtën vlerë të ardhshme dhe, e kundërta.
Ekonomikisht kjo d.t.th., se e njëjta vlerë e tanishme e investuar me norma të njëjta interesi por në më
shumë periudha ofron vlerë të ardhshme më të lartë, ndërkohë që një vlerë e ardhshme që skontohet
[pjestohet] me të njëjtin indeks të normës së interesit [1+i], por i ngritur në fuqi për një numër më të
madh periudhash, ofron vlerë të tanishme më të ulët.
Shembull 37: Nëse gjendeni përballë dy korporatave ABC dhe BCD që kërkojnë të huamarrin duke emetuar bonde
me maturim 10 vjeçar, me vlerë të njëjtë të emërtuar për 10 000 € dhe me normë të njëjtë interesi vjetor 8%, por
Korporata ABC ofron kapitalizim interesash çdo 3 mujor dhe Korporata BCD ofron kapitalizim interesash çdo 6 mujor.
Për të realizuar një vlerë të ardhshme 21 911,23 €, cila korporatë të kërkonte sot një vlerë të tanishme më të
ulët por të investuar?
1) Për Korporatën ABC n=Y*m=10vjet*43-mujorë = 40 tremujorë; i/m=8%/43-mujorë , PV=10 000€ atëherë:

FVABC=22 804 € = 10000*(1,02)40
nga ku rezulton se nABC=−ln(10000/22804)/ln(1+0,02) ≈40 periudha kapitalizimi = 403-mujorë
2) Për Korporatën BCD n=Y*m=10vjet*23-mujorë=20 gjashtëmujorë; i/m=8%/26-mujorë , PV=10 000€ atëherë:

FVBCD=21 911,23 € = 10000*(1,04)20

2.2.2▬Lidhja Funksionale brenda FV
Drejtimet kryesore bazohen tek formulat e FV dhe janë:
│FV=PV*(1+i)n

1-Vlera e ardhshme [FV] ka lidhje të drejtë me Vlerën e Tanishme [PV], që d.t.th., se një
vlerë më e lartë e tanishme, në kushte të tjera të pandryshueshme [normë interesi dhe numri i
periudhave], ofron një vlerë të ardhëshme më të lartë; dhe e kundërta. Ekonomikisht d.t.th., se një
vlerë më e madhe e ardhshme kërkon të investohet sot një vlerë më e madhe e tanishme; dhe e
kundërta.
Shembull 38: Nëse një sistem bankar ofron normë interesi për depozita 10% dhe individ AB depoziton për 2 vjet
1000€, ndërsa individi BC investon për 2 vjet 2000€, vlera e ardhshme e BC është më e lartë se e AB:
FVAB=1000(1+0,1)2= 1 210€ │FVBC=2000(1+0,1)2= 2 420€

FVBC> FVAB sepse PVBC>PVAB
2-Vlera e ardhëshme [FV] ka lidhje të drejtë me normën e interesit [i], që d.t.th., se një
normë më e lartë interesi, në kushte të tjera të pandryshueshme, ofron një vlerë të ardhëshme më të

48

lartë sepse vlera e tanishme [PV] shumëfishohet me indeks më të lartë të normës së interesit [1+i]; dhe e
kundërta. Ekonomikisht d.t.th., se e njëjta vlerë e tanishme e investuar me norma më të larta interesi
ofron vlerë të ardhshme më të lartë.
Shembull 39: Nëse banka ABC ofron normë interesi për depozita 10% dhe banka BCD ofron normë interesi për
depozita 12%, atëherë duke depozituar 1000€ në secilën nga bankat, vlera e ardhshme tek depozitimi pranë BCD është
më e lartë se e ABC:
FVAB=1000(1+0,1)2= 1 210€ │ FVBC=1000(1+0,12)2= 1 254,40€

FVBC> FVAB sepse iBC>iAB
3-Vlera e ardhëshme [FV] ka lidhje të drejtë me numrin e periudhave të kapitalizimit [n] të
interesit, që d.t.th., se në kushte të tjera të pandryshueshme, një numër më i madh periudhash [n] të
kapitalizimit të normës së interesit, të normës së shlyerjes apo të normës së fitimit, për të njëjtën vlerë të
tanishme, ofron vlerë të ardhshme më të lartë dhe, e kundërta.
Shembull 40: Nëse dy korporata ABC dhe BCD huamarrin duke emetuar bonde me maturim 10 vjeçar, me vlerë të
njëjtë të emërtuar për 1 000 € dhe me normë të njëjtë interesi vjetor 12%, por Korporata ABC ofron kapitalizim
interesash çdo 3 mujor dhe Korporata BCD ofron kapitalizim interesash çdo 6 mujor. Do vërejmë se vlera e ardhshme
është më e lartë tek ABC [3262€] se sa tek BCD [3207]:
Për ABC n= 10 vjet x 4 tremujore= 40 tremujore│ FVABC=3262 € = 1000*(1+0,12/4)40
Për BCD n= 10 vjet x 2 tremujore= 20 tremujore│ FVABC=3207 € = 1000*(1+0,12/2)20

FVABC> FVBCD sepse nABC>nBCD
______________

2.2.3▬Aplikime të Vlerës së Tanishme/Të Ardhshme –Amortizimi i Kredisë
Vlera kohore e parasë ndihmon për të matur dhe analizuar ecurinë e vlerës së fuqisë blerëse të
parasë në kohë dhe në këtë mënyrë secili që zotëron një shumë parash vendos se në cilën alternativë t’i
investojë.
Secila alternativë investimi përmban këto komponentë kryesorë:
■Shtesën në vlerë që pëson në të ardhmen një njësi paraje që investohet sot –p.sh., për sigurim pensional,
sigurim jete, kursime, etj. Shtesa në vlerë realizohet nga kapitalizimi i interesave ose nga këndvështrimi i përgjithshëm
financiar njihet edhe si kapitalizim i shlyerjeve ose kthimeve.
■Raporti i shtesës në vlerë që pëson në të ardhmen paraja ndaj vlerës së parasë së investuar sot për ta
pasur shtesë vlerën e ardhshme quhet normë (rate) dhe respektivisht haset si normë shlyerje ose normë kthimi (rate of
return), normë interesi (interest rate), normë fitimshmërie (profitability rate), etj.
■Një para e investuar në një alternativë ku shtesat në vlerë nuk tërhiqen por “rimbillen” në biznes, d.t.th., se
shlyerja apo interesi të përfitojë duke u shtuar edhe vetë me interes. Sa më të gjata këto periudha aq më shumë shtesë
vlere realizohet [në kushte të tjera të pandryshueshme].
Aplikimet e vlerës së tanishme dhe të ardhshme hasen në çdo vendim për të investuar.
Për shembull nëse investohet në një biznes, raporti i fitimit të arkëtuar pas një periudhe kohore –
p.sh., pas 1 muaji, 3 muajve, 1 viti, etj., me paratë e investuara në fillim për nisjen e biznesit në fjalë,

49

shpreh normën e fitimit ose normën shlyerjes për periudhën në fjalë –p.sh., për 1 muaj, për 3 muaj, për 1
vit, etj.
Nëse investohet duke huadhënë, huadhënësi përfiton interes, prandaj raporti i interesit ndaj shumës së investuar
[huadhënë] quhet normë interesi.
Nëse investohet duke kontribuar në kapitalin e një firme –p.sh., duke blerë aksione të zakonshme, kontribuesi përfiton
dividend, prandaj raporti i dividendit ndaj shumës së investuar quhet normë dividendi.
Nëse investohet duke blerë të patundshme, investitori përfiton qira, prandaj raporti i qirasë ndaj shumës së investuar
quhet normë qiraje. Njëlloj është edhe nëse investohet duke blerë makineri të cilat i jep me qira investitori
financiarisht përfiton qira, prandaj raporti i qirasë ndaj shumës së investuar quhet normë qiraje.
Në mënyrë të ngjashme si më sipër ndodh edhe për investime në alternativa të tjera.
Në çdo rast, një investim shprehet në instrumentin financiar që mban investitori –p.sh., kur huajep investitori është
huadhënës dhe mban në një vlerënotë ose bond, kur blen një të patundshme investitori është mbajtës i titullit nga i cili arkëton
qira, por që mund të arkëtojë edhe fitim kapital nëse e shet me një çmim më të lartë nga kostoja e blerjes.
Në të gjitha rastet kemi të bëjmë me para që investohen në një moment kohor dhe që shtohen
përgjatë një periudhe kohe të ardhshme, pra me vlerën në kohë të parasë.
Më poshtë po japim në mënyrë të përmbledhur instrumentat dhe transaksionet më spikatëse
ku aplikohen konceptet e vlerës kohore të parasë:
Amortizimi i Huarave: Shlyerja me Këste e Borxhit
Një nga aplikimet më spikatëse të Vlerës Kohore të Parasë është amortizimi i nje kredie. Duhet
kuptuar se një investitor ka poziten e kredidhënësit. Për shembull nëse një individ vendos paratë në
depozitë bankare me afat ai është një kreditor për bankën; gjithashtu një individ mund të huajapë për
një korporatë, buxhetin e shtetit, etj.
Në çdo rast kreditimi, pala huadhënëse përgatit një plan të arkëtimit të kredisë, që për palën
huamarrëse është plan i amortizimit apo i sosjes/shlyerjes së kredisë (amortization schedule). Kriteri
themelor në planin për arkëtimin apo shlyerjen e kredisë është përcaktimi i këstit apo i PMT.

Plani i amortizimit të kredisë është një listë kronologjike të gjëndjes ose të tepricave të kredisë së ofruar apo të
mbetur për shlyerje pas çdo këstarkëtimi [për huadhënësin] ose këstpagese [për huamarrësin] duke e përcaktuar për shumën
themelore (principal) dhe për interesat deri kur të përmbushet shlyerja e kredisë.
Shembull 41: Nëse merret një kredi për 10 000 Euro me 12% në vit [=1% në muaj] me kapitalizim mujor interesash.
Plani i shlyerjes mujore të saj bazohet:
(1) Në përcaktimi e këstpagesës [PMT] duke u bazuar në zgjidhjen për PMT të formulës së
Vlerës së Tanishme të një Kësti të Zakonshëm [PVOA] pagese si vijon:
PV=PMT*[((1−(1+i)−n)/i] PMT=i*PV/[(1−(1+i)−n]
Duke zëvendësuar7 rezulton:
PMT=888,488=0,01*10 000/[(1−(1+0,01)−12]

7

Norma e interesit i duhet të shndërrohet në mujore apo im=0,01=1%=12%/12muaj

50

PMT≈888,5 Euro
Numri i Periudhave

I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII

PMT

2

1

Teprica Fillim

10 000,00
9 211,50
8 415,10
7610,75
6 798,36
5 977,84
5 149,14
4 312,14
3 466,76
2 613,02
1750,65
879,66
TOTALI

Interesi

Themelori

Teprica Fund

3

4= i *2

3−4=5=PMT−Interes

2−5

888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
888,5
10 662
∑PMT=10 662

0,01*10 000= 100,00
0,01*9 211,50= 92,12
0,01*8 415,10= 84,15
0,01*7 610,75= 76,11
0,01*6 798,36= 67,98
0,01*5 977,84= 59,80
0,01*5 149,14= 51,50
0,01*4 312,14= 43,12
0,01*3 466,76= 34,76
0,01*2 613,02= 26,13
0,01*1 750,65= 17,51
0,01*879,66= 8,80
662
∑interesave= 662

788,50
796,40
804,35
812,39
820,52
828,70
837,00
845,38
853,74
862,37
871,00
879.70
10 000
∑PV= 10 000

9 211,50
8 415,10
7610,75
6 798,36
5 977,84
5 149,14
4 312,14
3 466,76
2 613,02
1750,65
879,66
0
0

____________________

2.3║ E Përherëshmja: Me Afat Maturimi Infinit
2.3.1▬E Përherëshmja dhe Shtjellimi Matematik i saj
E përherëshmja (perpetuity) i referohet një huaje paafat maturimi dhe që nuk arkëtohet e as
paguhet shuma themelore e huadhënë. Të përjetshmet, huadhënësit i ofrojnë përjetësisht interesa,
ndërsa huamarrësit i mveshin detyrimin për të paguar përjetësisht interesa. Në praktikën e përditshme e
përjetshmja merr formën e një aksioni –p.sh., para të kontribuara për themelimin e një firme që
emeton aksione dhe aksionet nuk kanë afat maturimi. Krahas aksioneve [të zakonshme dhe të
preferueshme (common stock, preferred stock)] e përherëshme është edhe bashkëpronësia e cila zgjat sa dhe
vetë jeta e firmës së cilës i përkasin dhe kanë përfitime të vazhdueshme dividendësh.

Të përhershmet janë rrjedhje në të holla që nuk mbarojnë kurrë. P.sh., një qeveri mund të
huamarrë duke premtuar përjetësisht kthim interesash por jo të themelorit. Një instrument i tillë njihet
edhe si bond i përjetshëm apo si consol8.
Vlera e tanishme e një të përhershmeje (present value of perpetuity) llogaritet si raport i pagesave ose
arkëtimeve në të holla (cash flow -CF) me normën e interesit apo të shlyerjeve (return -r) PV=CF/r.
Shembull 42: Nëse një prind depoziton në bankë një të përhershme për 10 000 Euro në favor të fëmijve të tij, –
p.sh., për shkollim, me interesi 10% në vit. Në këtë rast vlera e tanishme e të përhershmes prej 10 000€ është:
PV=100 000€ = 10 000/0,1.

8

Shih në këtë Kapitull 2.4.1
51

Shpjegimi Matematik i Formulës së të Përhershmes
Më poshtë po japim transformimin matematik për të arritur tek formula e thjeshtëzuar
V=Dp/kp: Hapat që ndërmerren janë:
I-Rishkruajmë funksionin e mësipërm në formën e përgjithshme (1), ku CF është rrjedhja në të holla (Cash Flow -CF) dhe i=norma
e interesit.
II-Shumëzojmë të dy anët e barazimit (1) me (1+i) dhe përftohet barazimi (2)=(1).
III-Zbresim nga barazimi (2) barazimin (1), pra (2)−(1).
IV-Duke qenë se aksioni nuk ka n periudha por . Nga teoria limitit kuptohet se kur n→ atëherë raporti CFn/(1+i)n → 0.
V-Pas këtyre veprimeve përftohet barazimi V*(1+i−1)=CF1 ku rrjedh se V*i=CF1 dhe në funksion të i barazimi merr formën:

i=CF1/V

(1) V 

 CF1
CFn 
CFn
CF1
CF2
CF2
 (1  i )  (2)

 ... 
 V  (1  i )  

 ... 
1
2
n
1
2
(1  i ) (1  i )
(1  i )
(1  i ) n 
 (1  i ) (1  i )



CFn 
CFn
CF
CF2
CF2
1
(2) V  (1 i)  (1 i) 
V  (1 i)  CF 
 ...
 (1 i) 
 ... (1 i) 
1
1
2
n
1
(1 i)
(1 i)
(1 i) 
(1 i)
(1 i)n1


(3)  (2)  (1) V (1 i 1)  CF 
1

CFn
(1 i) n

 kur n 



 CFn 

 0
(1 i) n 


 V i  CF i 
1

CF
V

E Përherëshmja Rritëse
Nëse të përhershmet paguhen në rritje, e përhershmja njohet si e përhershme rritëse (growing
perpetuity) dhe vlera e tanishme e një të përhershme rritëse (present value of growing perpetuity -PVgp)
llogaritet me formulën:
PVgp=C1/(r−g)
ku
C1 = rrjedhja në to holla [arkëtim ose pagesë]; r = norma e interesit
g = norma e rritjes e të ardhurave të individit në fjalë.
Shpjegimi Matematik i Formulës së të Përhershmes me Rritje Konstante g
E përherëshmja me rritje konstante g, haset tek modeli i Myron Gordon për vlerësimin e
aksioneve9. Gordon e paraqiti modelin në një artikull të botuar në vitin 1959. Modeli përdoret si për të
matur vlerën e një aksioni po ashtu edhe të një firme.
Modeli bazohet në logjikën që për çdo aksion të emetuar, firma emetuese ofron dividendë D që
rriten me një normë konstante g dhe ndërkohë, norma e kërkuar e shlyerjes [k] mbetet konstante. Modeli
përfshin shumën e serive tëpafundëme që pëprcaktojnë nivelin e çmimit P, si në formulë:
9

Shih Kapitulli 6.

52




P  D
t 1


(1  g ) t
1 g 
 P  (k  g )  D  (1  g )  kP  gP  D  (1  g ) 
 P  D 
t
k  g
(1  k )



D  (1  g )


 kP  D  (1  g )  gP  k 
 g
P


Ku

k=norma e pritshme e shlyerje (expected rate of return)│ (D*(1+g)/P) = rendimenti (yield) │g = norma e pritshme e rritjes.
Për të gjetur P∞, nisemi nga Pn dhe ndjekim përpunimin matematikor si vijon:
t

n
n
n
(1  g ) t
(1  g ) t
1 g


1 g 
Pn   D 
 D
 D  
 a   Pn  D   a t  (1)
 
t
t
1 k
(1  k )
t 1
t 1 (1  k )
t 1  1  k 
t 1


n

n
1  a ( n 1) 
  n

a t  a  a 2  a3  ...  a n  1  a ( n 1)  (1  a )  1   a t    a t 
 1 (2)

1 a
t 1
t 1
  t 1


n

n

a t 
t 1

1  a (n1)
 1 sepse 1  a (n1)  (1  a)  (1  a  a 2  a3  ...  a n ) dhe a t a  a 2  a3  ...  a n
1 a

Kujtojmë që a=(1+g)/(1+k) dhe duke zëvenduar në formulën (1) vlerën e at që jepet në
formulën (2) rezulton formula (3) e Pn:


 1  a ( n 1)
Pn  D  

 1  a  1 (3)


Në lidhjen a=(1+g)/(1+k) nëse g<k atëherë a<1. Në të përhershmen, n→, atëherë në
numërues vlera e a(n+1)→0, prandaj për P kemi:

a
1 a 
1 g
1 0 
 1
Pn  P  D  

 1  D  
duke zevendesuar a 

  D
1 a
1 k
1 a 
1 a 1 a 
1 g 


 1  k    P  D  1  g  (4)
 P  D 
 
k g
 1 g 



1 
1 k 

P=D*[(1+g)/(k−g)]
Shembull 43: Të llogaritet vlera e një aksioni P=? që ofron 5€ dividend me normë rritje 6% dhe normë të kërkuar
të shlyerjes k=10%.

53

Zgjidhja:
P=D*[(1+g)/(k-g)] = 5€[(1+0,06)/(0,1−0,06)]  P=132,5€
Të gjitha formulat e të përherëshmes përdoren për llogaritjen e vlerës së tanishme të aksioneve,
për llogaritjen e vlerës së bizneseve, firmave, të leverdisshmërisë së projekteve, etj.
Më poshtë do të vijojmë me disa aplikime praktike të vlerës kohore të parasë të zgjedhura si
aplikimet më sipkatëse të fushës së amvisimit dhe drejtimit financiar.
____________________

2.4║ Aplikime të Vlerës Kohore të Parasë
2.4.1▬Aplikime të Vlerës Kohore –Bondet dhe Aksionet
Vlera e Ndërmarrjes
Vlera e ndërmarrjes është shuma e Rrjedhjeve Të Ardhshme Neto Në Të Holla që skontohen duke u
raportuar si vlerë e tanishme. Norma e skontimit është norma e shlyerjes pa rrezik plus një normë apo
n
prim rreziku.
NCF t
EV 



t 1

(1  k e ) t

Ku:
EV = vlera e ndërmarrjes│NCF = rrjedhja neto në të holla për periudhat t│t = periudhat kohore │ke = norma e
skontos që përfshin normën e interesit pa rrezik [kRF] dhe normën e interesit për prim rreziku [kp].
Shembull 44: Të llogaritet vlera e ndërmarrjes ABC nëse për 3 vite ka rrjedhje neto në të holla NCF= 100 000€,
ndërkohë që norma e interesit të të Mirave të Thesarit është 7% dhe norma e interesit me prim rreziku është 8%.
Zgjidhje
EV 

n



t 1

NCF t
1000000

(1  k e ) t
(1  7 %  8 %)

3

 65751 , 6 Euro

Lidhja e mësipërme përdoret kur kërkohet vlerësimi i një subjekti biznesi nga blerësit
potencialë të tij, për t‘u informuar se çfarë arkëtimesh neto në të holla do të kenë si shlyerje për
investimin që analizohet nëse do të ndërmerret apo jo.

Ekuacioni i Përgjithshëm për Vlerësimin e Bondeve
Më poshtrë jepet ekuacioni i përgjithshëm për vlerën e një bondi qështë baraz me vlerën e
tanishme të interesave të arkëtueshme në të ardhmen plus vlerën në maturim të bondit [vlerën par]:
VBond=PVprincipal+PVinterest

54


V B  V bond 

INT
INT
INT
M

 ... 


n
1
2
(1  k d )
(1  k d )
(1  k d )
(1  k d ) n

n

INT

 (1  k
t 1

d

)

t



M
(1  k d ) n


 1
1
1
V B  V bond  INT * 
M *
 INT * ( PVIFA k d n )  M * ( PVIF k d n )

n 
(1  k d ) n
 k d k d * (1  k d ) 
1
1
1
ku  PVIFA k d n 

 dhe  PVIF k d n 
n
k d k d * (1  k d )
(1  k d ) n

Shembull 45: Me datë 1 Shkurt 09 Korporata ABC emeton një bond me vlerë par 1000 Euro të pagueshme në
maturim [M=1000], normë interesi 15% dhe afat maturimi 15 vjet. Bondi i ka interesat e pagueshme çdo vit për shumën

15%*1000=150 Euro.

Duke zëvendësuar në formulë kemi:

 1

1
1

V B  V bond  1000  877 ,11  122 , 90  150 * 
  1000 *
0 ,15
0 ,15 * (1  0 ,15 ) 15 vjet 
(1  0 ,15 ) 15 vjet


TEST –Vlera e Bondit
I−Në vijim të shembullit të mësipërm, rillogarisni vlerën e bondit nëse:
1-Ndryshojmë periudhën e maturimit: (a) nga 15 vjet në 12 vjet, (b) nga 15 vjet ne 18 vjet, por per te dy alternativat nuk
ndryshojmë normën e interesit [15%];
2-Ndryshojmë normën e interesit: (a) nga 15% në 13% dhe (b) nga 15% në 17%, por per te dy alternativat nuk
ndryshojmë afatin e maturimit [15vjet].
II−Duke qenë se interesat kapitalizohen çdo 6-muaj, interesi vjetor duhet korigjuar në nivel 6 mujor duke u pjestuar me

2 dhe numri i periudhave vjetore shumëzohet me 2 [numër vitesh x 2 gjashtëmujor], atëherë si do ta transformonit
formulën e mësipërme të vlerës së bondit e cila është për interes vjetor.

║Bondi me Kupon Zero║

Bondi me kupon zero (zero-coupon bond) është bond që përfaqëson një hua me normë fikse apo
të pandryshueshme interesi e për pasojë nuk parashikohet shkëputje kuponash deri në maturim. Pra që
nuk ofron pagesë kuponash [interesash], p.sh., çdo 3 muaj ose 6 muaj, etj., në periudhat e ndërmjetme,
sepse interesat paguhen vetëm në maturim.
Formula e llogaritjes së vlerës së bondit me kupon zero bazohet tek formula e vlerës së tanishme:
VBondit me kupon zero=PV=FV/(1+i)n
Duke qenë se këto bonde nuk ofrojnë interesa, atëherë vlera e ardhshme është shuma e vlerës par
e arkëtueshme apo e pagueshme në maturim M. Pra FV=M, atëherë vlera ebodnit është:
VBondit me Kupon Zero=M/(1+kd)n =M*[1/(1+kd)n]=M*PVIFkd, n
Shembull 46: Bondi i emetuar nga korporata ABC ka vlerë par 1000 Euro, me normë skontoje 10% dhe afat
maturimi 20 vjet. Kerkohet të përcaktohet vlera e bondit ABC.
VBondit=148,64 Euro = 1000€/(1+0,1)20
55

Kjo duhet lexuar në këtë mënyrë: ‘Sot duhet investuar 148,6 Euro për të pasur një vlerë të ardhshme për 1000 Euro, që
është vlera par e pagueshme në maturim [pas 20 vitesh], me normë interesi 10% dhe interesat janë të arkëtueshme
vetëm në maturim.’
║Bondet e Përjetshëm║

Bondet e përjetshëm (perpetual bonds) janë bonde që përfaqësojnë huara pa maturim dhe për
rrjedhojë nuk premtojnë shlyerjen e shumës themelore, por që ofrojnë përjetësisht interesa, por pa
kthim të shumës themelore. Historikisht janë quajtur konsole (consols) dhe përfaqësojnë një instrument
borxhi me jetëgjatësi të përhershme, pra pa maturim.
Formula për vlerësimin e këtyre bondeve bazohet në vlerën e tanishme vetëm të interesave dhe
në pozitat e huadhënësit [mbajtësit të bondit] është raporti i arkëtimeve të interesave, pjestuar me
(1+rendimentin deri në maturim)t periudha dhe vlera që rezulton quhet edhe çmim i bondit. Konkretisht më
poshtë jepet formula sipas versionit të plotë dhe të thjeshtë:

Vconsol 



Int
Int
Int
Int
Int

 ...

 Vconsol  
1
2
t

kd 
(1 kd ) (1 kd )
(1 kd )
1
t 1 (  kd )


Shembull 47: Bondi qeveritar i emetuar si i përjetshëm ka vlerë par 1000 Euro, me normë vjetore interesi 8%
[interesi=80€], afat maturimi 15 vjet dhe norma e skontos10=10%. Kerkohet të përcaktohet vlera e bondit të
përjetshëm. Duke zëvendësuar në formulën e vlerës së konsolit [Vconsol=INT/kd] rezulton:
Vconsol=800€=80/10%=80/0,1
________________

Rendimenti në Maturim [YTM]
Rendimenti në maturim (Yield to Maturity -YTM) ] është rendimenti që ofron një investim afat
gjatë p.sh., një huadhënie apo një titull financiar që mbahet dhe ofron interesa deri në datën e
maturimit (maturity date).
YTM na kërkohet në rrethanat kur për shembull investimi në një depozitë me afat, në një
bond apo obligacion qeveritar, korporate, etj., që i dihet vlera e tanishme por që duhet gjetur norma e
interesit që skontojnë vlerën e ardhshme për të përftuar vlerën e tanishme.
Shembull 48: Investitorit AB i ofrohet për çmimin 1198,94€, një bond me vlerë par 1000€ [vlera në maturim:
M=1000€], me 14 vjet të mbetura për në maturim [n=14], dhe me 15% kupon [INT=150=1000*15%].
Lind pyetja se sa normë shlyerje apo normë interesi i ofron ky bond investitorit AB, nëse ky e mban bondin deri në
maturim? Pra kd=YTM=?
Zgjidhje
Për ta zgjidhur bazohemi tek formula e vlerës së bondit, ku zëvendësojmë vlerat e ditura si më lart dhe kd=YTM=?:
 1

 1

1
1
1
1
V bond  INT * 

 1198 ,94  150 * 

M *
  1000 *
k d k d * (1  k d ) n 
YTM YTM * (1  YTM ) 14 
(1  k d ) n
(1  YTM ) 14


10

Norma e skontos është norma e kapitalizimit të bondit e cila është baraz me normën e shlyerjes pa rrezik
[RF] plus një prim rreziku [rp]. P.sh., nëse norma e skontos është 10%, ndërkohë që norma e të mirave të
thesarit është 7%, atëherë primi i rrezikut është 3%.
56

Gjetja e normës së interesit apo e YTM=? Në këtë rast bëhet ose me kalkulator ose me provë.
I-Zgjidhja me provë duke u bazuar në Normën Ushtrimore të Shlyerjes/Kthimit11
Për zgjidhjen me provë, bazohemi tek Norma Ushtrimore e Shlyerjes (current yield -cY) që është raporti i interesit
nominal të bondit, ku INT = 150€ = 1000*15% me çmimin që ofrohet bondi P = 1198,94€.
cY= 12,51%=150/1198,94€. Kjo d.t.th., se YTM ka një vlerë ndërmjet 12% dhe 13%. Duke qenë se bondi po ofrohet me
çmim mbi vlerën par [P>1000], atëherë në emëruesin e thyesës duhet provuar një normë interesi më e vogël se 12,51 kjo sepse
rritja e çmimit të bondit mbi vlerën par d.t.th., se YTM<cY argumenton për normë më të ulët interesi. Prandaj duhet provuar
i=12% dhe, realisht nëse zëvendësohet YTM=12%, rezulton zgjidhja e saktë:
 1

1
1
V bond  1198 , 94  994 , 32  204 , 62  150 * 

 1000 *
0 ,12 * (1  0 ,12 ) 14 
(1  0 ,12 ) 14
 0 ,12


II-Zgjidhja me provë duke u bazuar në Formulën e Përafërt të YTM
Zgjidhja me provë bazohet edhe tek një formulë empitike [e përafërt e YTM] që është si vijon:
FV  P
n deri ne maturim
 YTM
FV  P
2

INT 
YTM

approx



approx .



1000  1198 ,94
14
 12 ,35 %
1000  1198 ,94
2

150 

Ku: INT=interesi sipas emetimit apo vlerës nominale që rezulton 150€=15%*1000€ │FV=vlera e ardhshme apo vlera në
maturim e bondit=vlerën par = 1 000€│P=çmimi i tregtimit të bondit apo 1 198,94€│n=numri i viteve ose i periudhave deri në
maturim│2=koeficient mesatarizues ndërmjet vlerës par dhe çmimit të bondit.
YTM e përafërt rezulton YTMapprox=12,35%. Kjo d.t.th., se YTM e saktë ka një vlerë ndërmjet 12% dhe 12,5%. Duke qenë
se bondi po ofrohet me çmim mbi vlerën par [P>1000], atëherë në emëruesin e thyesës duhet provuar një normë interesi më e
vogël se 12,35 kjo sepse rritja e çmimit të bondit mbi vlerën par argumenton për normë më të ulët interesi. d.t.th., se YTM<cY.
_________________

Rendimenti me t’u Thirrur/Kërkuar [YTC]
Rendimenti me t’u thirrur/kërkuar (yield to call -YTC) është rendimenti që një hua i ofron
huadhënësit kur huamarrësi për interesa të tij e shlyen instrumentin përpara maturimit. Nëse huaja
përfaqësohet nga një bond, atëherë bondi që e kanë këtë klauzolë në kontratën e emetimit quhen
bonde të thirrshem (callable bond). Duke arësyetuar edhe në këtë rast njëlloj sikurse me YTM, kërkohet
YTC=?. Funksioni bazë shkruhet:

 1

1
1
Vbond callable  INT  
 Pr ice 

n  call
(1  YTC ) n
 YTC YTC  (1  YTC ) 
Shembull 49: Korporata ABC emeton një bond me vlerë par 1000 €, 12% normë vjetore interesi [kupon] dhe afat 15 vjet
[n=15]. Ky bond është emetuar me klauzolën që ABC ka të drejtë ta blejë bondin pas 10 vjetësh me çmimin 1150€. Kjo d.t.th., se
periudha e mbetur deri në maturim është 5 vjet [n=5].
Duke aplikuar të njejtën metodikë sikurse me YTM, zgjidhja rezulton:
11

Norma Ushtrimore e Shlyerjes = Norma Korente e Shlyerjes/Kthimit (current yield -cY).
57


 1

1
1
 1150 

Vbond callable  1150  527,58  624,17  150  
5
(1  0,13) 5
 0,13 0,13  (1  0,13) 
________________

Problema të Zgjidhura
Nr
1
PV

PV ║PVOA ║PVAD
Nëse kontraktoni për të blerë një mjedis shitjeje në një kompleks tregtimi, ndërtimi i të cilit zgjat 3 vjet dhe, pas 3
vjetësh ju duhet të paguani 150 000 Euro, sa do të paguanit sot kundrejt një norme interesi 6% në vit duke marrë në
konsideratë se shuma e investuar sot kapitalizon interesat për 3 vite.
PV=150 000/1,063=125 942,89

2
PV

Nëse kontraktoni për të blerë një mjedis shitjeje në një kompleks tregtimi, ndërtimi i të cilit zgjat 3 vjet dhe, pas 3
vjetësh ju duhet të paguani 150 000 Euro, sa do të paguanit sot kundrejt një norme interesi 6% në vit duke marrë në
konsideratë se shuma e investuar sot kapitalizon interesat si 6-mujor për 3 vite. Norma interesit si 6 mujor është
3%=6%/2
PV=150 000/1,036=125 622,64

3
Nëse në pozitën e një huadhënësi jeni duke negocijuar një huadhënie me normë interesi 5% me një huamarrës i cili ka
PVOA gjendje neto të hollash për shlyerje rreth 10 000 Euro. Huamarrësi ju paraqet një propozim me dy alternativa (a) dhe
PVAD (b) si vijon:
(a) Tre pagesa me nga 10 000 Euro në fund të vitit 2009, 2010 dhe 2011.
(b) Tre pagesa me nga 97% të 10 000 Euro, por që bëhen në fillim të vitit 2009, 2010 dhe 2011.
Cilën nga alternativat do të zgjidhnit? [Ajo që ka sot PV më të madhe (b)]
(a) PVOA = 10000*(1-1,05-3)/0,05=27 232,48 │(b) PVAD = [9700*(1-1,05-3)/0,05]*(1,05)=27 736,28

4
FVOA
FV

Nëse Ju jeni 35 vjeç dhe keni 10 000 Euro në një llogari kursimi dhe këtë llogari e investoni në një Fond Pensioni
sëbashku me zotimin kontraktual për të kontribuar në fund të çdo muaji 50 Euro me normë vjetore interesi 6%, deri në
daljen në pension në moshën 65 vjeç, pra për 30 vjet. Sa rezulton fondi pensional i juaji kur të mbushni moshën
pensionale. [30 vjet=360 muaj, imujore=0,005=0,06/12]

FVAD

[FVOA= 50*(1,005360-1)/0,005=50 225,75 Euro] + [FVkapitalizim vjetor= 10 000*1,0630=57 434,91 Euro]=
=FVOA+FVkapitalizim vjetor=107 660,66 dhe/ose [FVOA= 50*(1,005360-1)/0,005 = 50 225,75 Euro] + [FVkapitalizim mujor=
=10 000*1,005360=60 225,75 Euro] = FVOA+FVkapitalizim mujor=110 451,50
Nëse në fillim të një viti shkollor ju paguani për shkollim në një universitet privat 3 000 Euro, sa ju kushton shkollimi i
juaj për 5 vjet nëse norma mesatare vjetore e interesit është 6%.
FVAD=3000*[(1,065-1)/0,06]*1,06=16 911,28

6
FV
PV

Duke analizuar një projekt investimi rezulton se për një vlerë të investuar sot baraz me 100 000 Euro, vlera që
premtohet nga ky investim për një periudhë 4 vjeçare është 180 000 Euro. Kërkohet të gjendet norma e shlyerjes (rate
of return -r). [PV=100 000, FV=180 000, n=4, i=r=?]

5

58

r

7
eR

Duke ditur që FV=PV(1+i)n (1+i)n=FV/PVi=r=(FV/PV)1/n -1
r = (180000/150000)1/5-1= 12,475%
Nëse një individ AB vendos të blejë një bond të korporatës XYZ me afat maturimi 10 vjet, me normë vjetore interesi të
shkruar në bond për 12%, por kapitalizim interesash si 6 mujor. Individi kërkon se sa i rezulton norma faktike apo
efektive e interesit (effective interest rate -eR) nga ky investim. [ivjetore=12%, i6-mujore =6%, n=10vjet=20 gjashtëmujorë].
eR= [1+(i/n)]n -1  eR vjetor= (1+0,12/10)10-1= 12,67% │eR 6mujor= (1+0,06/20)20-1= 6,174%

Vlera e Tanishme e një të Përvitshmeje
Të Zakonshme [PVoa]

Të Maturuar [PVad]
[e pagueshme ose e arkëtueshme në fillim të çdo periudhen përbërëse]

[e pagueshme ose e arkëtueshme në fund të çdo periudhen
përbërëse]
■Vlerësimi i një serie pagesash ose kontributesh për sigurim
pensional, sigurim jete dhe të ngjashme;
■Në kontratat e qirave të banesave, ndërtesave, makinerive,
■Llogaritja e çmimit të blerjes së një të mire kapitale e cila etj.
blihet ose shitet duke u shlyer me këste të pagueshme në fund ■Në kontratat e qirave financiare [leasing]
të një periudhe përbërëse [në fund të çdo muaji, në fund të çdo
3-mujori, në fund të çdo 6-mujori, në fund të çdo viti, etj.]
brenda një periudhe tërësore;
■Përcaktimi i vlerës së pagesave periodike në formë primsigurimi për një periudhë të caktuar që ushtrohet mbulimi me
sigurim;
■Huadhëniet me këste të barabarta në fund të çdo periudhe12.
■Vendosja e çmimit të një Bondi me normë interesi të
pandryshueshme apo me kupon fiks dhe që përfshin:
(a) vlerën e tanishme të kuponave të pagueshëm në fund të
çdo 6 mujori, plus
(b) shumën themelore që arkëtohet në maturim.
■Në kontratat e qirave financiare [relativisht më rrallë]
______________

2.4.2▬Çfarë është PVIF, PVIFA dhe FVIF dhe FVIFA
Në shumë tekste kur bëhet fjalë për llogaritje të vlerës së tanishme dhe/ose të ardhshme hasen
shkurtesat respektive që kanë të bëjnë me vlerën e tanishme dhe të ardhshme të të përvitshmeve për
njësi monetare –p.sh., për 1 Lek, 1 Euro, 1 USD, etj., të cilat raportohen në fund të tekstit me pasqyra
përkatëse ku vertikalisht rendisin periudhat dhe horizontalisht normat e interesit.
Meqenese ne disa raste ato jepen të gatshme pa formulë, e shohim si praktike që secili lexues të
dijë plotësisht kuptimin e tyre të cilat mund t’i llogarisë nëpërmjet një kalkulatori, pa qenë nevoja për
të shfletuar librin.Më poshtë po japim formulat për secilën prej tyre:

Huara me këste (installment loans) i referohen rrethanave kur një palë huadhënëse –p.sh., një investitor ose bankë i ofron një kredi me këste të barabarta
p.sh., për 10 000 Euro në fund të çdo 3 mujori dhe për një periudhë të fiksuar p.sh., për 2 vjet.
12

59

PVIF
PVIF =Present Value of Interest Factor = Vlera e Tanishme e Faktorit të Interesit të
maturueshëm për fund periudhe
Duke u nisur nga formula:
FV=PV(1+i)n  PV=FV*[1/(1+i)n]
Dhe duke qenë se PVIF=1/(1+i)n atëherë kuptohet se
PV=FV*PVIFi, n
TEST –Plotësoni Tabelën për PVIF: PVIF=1/(1+i)

n

Interesi►
Periudha
▼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1%

2%

3%

4%

0,9901
0,9803
0,9706

0,9804

0,9706

5%

6%

7%

0,9615

8%

9%

10%...

PVIFA
PVIFA =Present Value of Interest Factor of an Annuity = Vlera e Tanishme e Faktorit të
Interesit të një Anuiteti për n periudha njësi. Kjo rrjedh nga lidhja e vlerës së tanishme të shumave fikse

PV 

n
n
 1 
CFn
CF1
CF2
1
 CF * 
 CF * PVIFAi ,n

 ... 
  CF * 
n
n
n
1
2
(1  i ) (1  i )
(1  i )
t 1
t 1 (1  i )
 (1  i ) 

të arkëtueshme në të ardhmen:

n

PVIFAi ,n  
t 1

1

(1  i ) n

1

1
1
(1  i ) n 1
 
i
i i * (1  i ) n

Në disa tekste në vend të i përdorin k =norma e shlyerjes, por duhet thënë se formula është e
njëjtë:

PVIFA

60

k ,n



n

1

 (1  k )
t 1

1
n



1
1
1
(1  k ) n
 
k
k k * (1  k ) n

TEST –Plotësoni Tabelën për PVIFA: PVIFA=(1/i)−[1/(i*(1+i)n]
Interesi►
Periudha
▼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1%

2%

3%

4%

0,9901
1,9704
2,9410

0,9804
1,9416

0,9709

5%

6%

7%

0,9524

8%

9%

10%...

FVIF
FVIF =Future Value of Interest Factor = Vlera e Ardhëshme e Faktorit të Interesit në fund të
n periudhave njësi. Kjo rrjedh nga lidhja e vlerës së ardhëshme si vijon:
FV=PV(1+i)n=PV*FVIFi,n  FVIFi,n = (1+i)n
TEST –Plotësoni Tabelën për FVIF: FVIF= (1+i)n
Interesi►
Periudha
▼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...

1%

2%

3%

4%

1,0100
1,0201
1,0303

1,0200
1,0404

1,0300

5%

6%

7%

1,0400

8%

9%

10%...

FVIFA
FVIFA =Future Value of Interest Factor Annuity= Vlera e Ardhëshme e Anuiotetit të një
njësie monetare për n periudha njësi. Kjo rrjedh nga lidhja e vlerës së ardhëshme të të përvitshmes, si
vijon:
n

n

n

t 1

t 1

t 1

FV   PV(1 i) nt  PV (1 i) nt  PV  FVIFA FVIFA,n  (1 i) n1  FVIFA,n 
i
i

(1 i) n 1
i

TEST –Plotësoni Tabelën për FVIF: FVIFA= (1+i)n
Interesi►
Periudha
▼
1
2

1%

2%

3%

4%

1,0000
2,0100

1,0000
2,0200

1,0000
2,0300

5%

6%

7%

1,0000
2,0400

8%

9%

10%...

61

3
4
5
6
7
8
9
10
...

3,0301

3,0604

2.5║ Vlera Kohore e Parasë: Metoda të Vlerësimit të Investimeve
Nga konceptet dhe formulat themelore tё vlerёs kohore tё parasё burojnё disa metoda pёr
vlerёsimin e vendimeve pёr tё ndёrmarrё ose jo njё investim. Më poshtë po japim disa nga metodat më
të hasura në praktikë.

2.5.1-Aplikime të NPV, IRR dhe Analizë Alternativash
Vendimmarrja për investime motivohet nga maksimizimi i fitimit, nga ulja e rrezikut, nga
mbrojtja apo ruajtja e qendrueshmёrisë në fitim, nga shmangia e humbjeve apo e rёnieve të fuqisë
blerëse nga inflacioni, krizat etj., si dhe kombinime të ngjashme.
Pasi pёrcaktohen alternativat e investimit, investitorët nëpërmjet vlerës kohore të parasë
llogarisin rritjen nё tё ardhmen tё vlerës qё investohet sot, ose vlerën që ka sot një investim apo
përfitim i ardhshëm.
Kur në pozitat si investitor gjendemi përpara një vendimi për të investuar në një projekt A, B,
C, etj., koncept tjetër që lidhet me vlerën kohore të parasë është edhe norma e brendëshme e shlyerjes
(internal rate of return -IRR).
Norma e Brendshme e Shlyerjes13 [IRR]

Norma e Brendshme e Shlyerjes [IRR] është norma e fitimit apo norma e interesit që duke u përdorur
si normë skontoje barazon vlerën fillestare të investimit [I] me vlerën e tanishme të arkëtimeve të
ardhshme në të holla (future cash inflow) [PVcash inflow]:
Funksioni shtrohet se me çfarë normë skontoje që ne e quajmë Normë e Brendshme e Shlyerjes
[IRR=?] duhet që:
Vlerën Fillestare Të Investimit [I] = [PVcash inflow] Vlerën E Tanishme Të Arkëtimeve Të Ardhshme Në Të Holla
Pra

I=PV

Duke qene se PV−I=NPV, atëherë sipas kushtit të mësipërm, kjo d.t.th., që Vlera Neto e
Tanishme (net present value -NPV) të jetë baraz me zero [NPV=0], sepse sipas kushtit të mësipërm:
13

Norma e Brendshme e Shlyerjes, quhet edhe shlyerje mesatare e peshuar/ponderuar në njësi monetare –p.sh., në USD (dollar-weighted average return). së
një projekti (internal rate of return); OSE edhe normë e shlyerjes e ponderuar në dollar (dollar-weighted rate of return). Gjithashtu, norma e interesit që përdoret
për të llogaritur vlerën e tanishme (present value) të rrjedhjes në të holla (cash flows), përgjatë gjithë pjesë periudhave [muaj] përbërëse të një periudhë të tërë
[vit]. Quhet dhe normë e brendshme e shlyerjes (internal rate of return).

62

PV−I=0
Vlera e tanishme e rrjedhjeve të ardhëshme në të holla për t periudha [ CFt] përcaktohet duke
skontuar me 1+IRR në fuqi për numrin e periudhave, që sipas kushtit të mësipërm duhet të jetë baraz
zero:
n
n
n
CF

 (1  IRR)
t

t 1

t

 0  CFt *
t 1

1
 0   CFt * PVIFIRR ,n
(1  IRR) t
t 1

Kushti themelor është se projekti apo investimi pranohet nëse IRR e tejkalon koston e
kapitalit të shprehur në përqindje dhe nëse jo, projekti ose investimi refuzohet apo nuk pranohet.
Avantazhi i IRR është se merr në konsideratë vlerën kohore të parasë (time value of money) dhe
është më e saktë sesa metoda e normës së rregulluar të shlyerjes (adjusted rate of return).
Disavantazhi i IRR është se ka vështirësi në llogaritje sepse:
(a) nuk janë disponibël të dhënat për hyrjet në të holla; si dhe
(b) për hir të projekteve konkurruese edhe investimet janë të ndryshme.
Në aspektin financiar, norma e brendshme e shlyerjes mund të haset si:
■Normë faktike interesi në një huadhënie (effective interest rate),
■Normë e skontos (discount rate) të rrjedhjes së ardhshme në të holla (discounted cash flow) dhe
■Normë korrigjuese (adjusted rate) të vlerës së arkëtimeve të ardhshme (cash inflow) nga një investim i sotëm.
Sipas logjikës së kësaj metode, interesat e arkëtuara në të ardhmen duhet medoemos që të
barazojnë koston zanafillë të investimit (initial investment -I) apo daljen në të holla (cash outflow) që
përjeton investitori kur investon.

Metoda e Normës së Brendshme të Shlyerjes
Metoda e Normës së Brendshme të Shlyerjes [IRR] i referohet supozimit apo rrethanave:
(a) kur investimi apo projekti ofron arkëtime në shuma të njëjta çdo vit dhe,
(b) kur investimi apo projekti ofron arkëtime në shuma të ndryshme çdo vit;

IRR për Arkëtime të Njejta Periodike
Shembull 50/(a) [kur investimi apo projekti ofron arkëtime në shuma të njëjta çdo vit]: Firmës ABC i
propozohet një projekt X, ku vlera fillestare e investimit është 12 950 Euro dhe hyrjet vjetore
në të holla (annual cash inflow) janë të barabarta 3000 Euro [z] në vit. ABC duke parë se normat
e interesit në depozitë bankare janë 8%, synon një normë minimale të kërkuar shlyerjeje
[interes nga investimi] për 12%. Për të vendosur nëse duhet ndërmarrë apo jo investimi, ABC
zbaton Metodën e Normës së Brendshme të Shlyerjes dhe shtrimi logjik është:
IRR→I=zPV
Duke qenë se I=12 950 USD, atëherë kundrejt kushtit të mësipërm rezulton:
I=zPVPV=I/z
nga ku PV= 12950/3000=4,317

63

Mbetet të gjejmë se cilës normë interesi [IRR=?] dhe cilës periudhë [n=’] i afrohet 4,317.
Kjo del duke iu referuar tabelës së vlerave të tanishme të një kësti vjetor (annuity) për 1 USD
[PVIFAIRR=?,n=?≈4,317]. Kujtojmë se PVIFA=[(1/i)−(1/(i*(1+i)n)]. Në këtë rast kërkohet i=IRR=? Për n=?.
Këtu po paraqesim tabelën për pjesën që na intereson:
PVIFA=(1/i)−[1/(i*(1+i)n]
Interesi►
Periudha
▼
1
2
3
4
5
6
...

...

5%

6%

7%

4,3295

1%

4,2124

...

18%

4,1002

19%

20%

...

0,9901
1,9704
2,9410

10
...

4,4941

4,1925

Në tabelë vërejmë se shuma 4,317 qendron ndërmjet dy grupvlerave:
(a)

ndërmjet vlerave 4,3295 dhe 4,1002 që i referohen periudhës 5 vjeçare respektivisht
me normë interesi 5% dhe 7%; si dhe

(b)

ndërmjet vlerave 4,4941 dhe 4,1925 që i referohen periudhës 10 vjeçare
respektivisht me normë interesi 18% dhe 20%.

Për vlerat (a) nuk ka kuptim që investimi të bëhet për 5% apo 7% sepse afërsisht kaq
janë normat e investimit pa rrezik [të Mirat e Thesarit], prandaj vëmendësohemi tek vlerat (b)
[4,4941 dhe 4,195] që i referohen periudhës 10 vjeçare dhe normave të interesit respektivisht
18% dhe 20%.
Në këtë rast duhet përdorur metoda e interpolimit që jepet në vijim:
Metoda e Interpolimit
Metoda e interpolimit ndihmon për të gjetur një vlerë ndërmjet dy vlerave të njohura
të një funksioni. Lidhja e interpolimit shprehet nga formula:

a  a0 b1  b 0  
a  a0 b1  b 0  
a1  a 0 au  a 0

 bu  b0  u
 bu  u
 b0 
a1  a0 
a1  a0 
b1  b0 bu  b0



Duke zëvendësuar me kujdes:

a1=PVIFA10,i=0.18 = 4,4941│ a0=PVIFA10,i=0.20= 4,1925│ b1=i0.18=0,18│ b0=i0.20=0,20│
│au=I/Annuity = 4,317 │bu= IRR=?

Formula merr formën:
IRR  b u 

64

( PVIFA

u

 PVIFA
( PVIFA

1

0

)  ( i PVIFA

 PVIFA

1

0 )

 i PVIFA

0

)

 i PVIFA

0


IRR  19,17% 

(4,317  4,1925)  (0,18  0,20)
 0,20
(4,4941  4,1925)

Nga ana metodike, zgjidhja e mësipërme ndjek hapat vijues:
PVIFA1 − PVIFA0
PVIFA1 (t=10, i=18)

PVIFAu (t=10, IRR=?)

PVIFA0 (t=10, i=20)

4,4941−4,1925=0,3016

4,4941

← 4,317 →

4,1925

PVIFAu − PVIFA0

4,3170−4,1925=0,1245
iPVIFA1 =18% = 0,18

← IRR=? →

iPVIFA0 =20% = 0,20

iPVIFA1-iPVIFA0

0,18−0,20=−0,02
IRR=19,17=(0,1245*(−0,02)/0,3016]+0,2
Duke përdorur interpolimin (interpolation) rrjedh se PVIFA18%,10vjet =4,4941,
PVIFAIRR%,10vjet =4,3170 dhe PVIFA20%,10vjet=4,1925.
Hapi 1: Shohim dy grup diferencash:
(a) Diferenca ndërmjet PVIFA ekstreme është:
PVIFA18%,10vjet − PVIFA20%,10vjet = 0,3016 = 4,4941−4,1295
(b) Diferenca PVIFAIRR%, 10 vjet me PVIFA20%,10vjet:
PVIFAIRR%,10vjet − PVIFA20%,10vjet = 0,1245 = 4,3170−4,1295
Hapi 2: Përcaktojmë peshën që zë diferenca (b) ndaj diferencës (a) që llogaritet si raport i
diferencës (b) me (a):
(PVIFAIRR%,10vjet − PVIFA20%,10vjet)/( PVIFA18%,10vjet − PVIFA20%,10vjet) =0,1245/0,3016 = 41,28%
Hapi 3: Shumëzojmë peshën e diiferencës (b)/(a) [=41,28%] me diferencën e normës së
interesit të PVIFA ekstreme:
−0,008256 = 41,28*(18%−20%)=
Hapi 4: Gjendet IRR duke mbledhur vlerën që rezulton në Hapin 3 me normën e interesit të
ekstremit më të lartë [20%]:
IRR=19,17% = −0,008256 + 0,2
Duke qenë se IRR rezulton 19.17%, ose më e lartë se sa norma minimale e kërkuar e
shlyerjes [12%] atëherë niveli IRR është i kënaqshëm dhe projekti është i pranueshëm.
IRR=19.17%

65

Duke qenë se norma minimale e kërkuar e shlyerjes nga investitori ABC është minimumi
12%, ndërkohë që IRR = 19.17%, atëherë d.t.th. se niveli IRR është i kënaqshëm dhe projekti është i
pranueshëm.

IRR për Arkëtime të Ndryshme Periodike14
Shembull 50/(b) [kur investimi apo projekti ofron
arkëtime në shuma të ndryshme çdo vit]: Firmës ABC i propozohet një
projekt me investim fillestar I=3 000 USD, me kosto kapitali 14% dhe me
arkëtime të ndryshme çdo vit si vijon: Viti I 1 000 USD, Viti II 2 500 USD dhe Viti
III 1 500 USD.
Llogaritja e IRR ndjek këto hapa:

Faktori
Vlera e
Arkëtimet PV ndaj Tanishm
14 %
e PV
I
1 000
0,877
877
II
2 500
0,769
1 924
III
1 500
0,675
1 012
∑PVI+II+III
3 813
NPV=∑PVI+II+III I=3813−3000
813
Vitet

Hapi I: Bazohet në llogaritjen e vlerës së tanishme të arkëtimeve
të ardhshme duke skontuar vlerat [arkëtimet] e ardhshme me koston e kapitalit, pra me iNPV=14% dhe në vijim formojmë shumën
e vlerave të tanishme (present value -PV) për secilin arkëtim të ardhshëm:
ΣPV=PVI+PVII+PVIII+…PVn= FVI/(1+i) + FVII/(1+i)2+ FVIII/(1+i)3+…+FVn/(1+i)n
Duke zëvendësuar: n=3 vjet│ i=14%=0,014│ FVI=1000 €, FVII=2500 €, FVIII=1500 €,
ΣPV=3 813€ = 1000/(1+0,14) + 2500/(1+0,14)+ 1500/(1+0,14) = 877€ + 1 924€ + 1 012 €

Hapi II: Llogaritet Vlera Neto e Tanishme [NPV] duke zbritur vlerën e investimit nga shuma e
vlerave të tanishme që rezultojnë duke skontuar vlerat e ardhshme me normën e kostos së kapitalit
[14%]:
NPV=ΣPV−I
NPV = 813€ = 3813€ − 3000

Hapi III: Për të gjetur IRR duhet që NPV=0→ΣPV=I. Kjo d.t.th., se kërkojmë një normë
skontimi më të lartë në mënyrë që ΣPV të barazohet me 3000 dhe jo me 3813. Në këtë rast kërkohet
aplikimi i teknikës së provës, duke gjetur një normë që i përafrohet IRR së kërkuar. Metoda më e
thjeshtë për gjetjen e IRR së përafërt kur arkëtimet e ardhshme janë në shuma të ndryshme bazohet në
funksionin bazë të gjetjes së normës së interesit, por të përpunuar matematikisht:
Duke zëvendësuar me të dhënat e mësipërme: ΣFV=5000 = 1000+2500+1500│ n+1=4=3+1, │I=300015
FV
FV  PV (1  i )  (1  i ) 
 1 i 
PV
n

n

n


Fv
 i 

PV


n

1

Fv
 FV  n
1  
  1 

PV
 PV 



  FV


 IRR approx   I




2

 n 1


 1





IRR e përafërt [IRRapprox.] rezulton:
IRR approx

  FV

 PV







n 1

2

 5000  3 1
1  
 1  IRR approx  29 ,1 %

 3000 

14

Për metoda praktike të llogaritjes së IRR shih: ‘Easy, Accurate Methods for Estimating Internal Rate of Return’ (without a financial
calculator!)-Chris Thron, James Moten − Texas A&M University −Department of Mathematics and Department of Accounting, Economics, and

Finance.
‘I’ merret si vlere absolute sepse duke qenë dalje të hollash ka vlerë me shenjë negative (−).

15

66

Sa më sipër niveli i përafërt i IRR është nga 29% dhe për këtë arësye vendosim të bëjmë provën
me IRR’=29%.

Hapi IV: Kundrejt IRR’=29% rillogarisim NPV si në tabelë:
Shuma e Vlerave të Tanishme të
Vitet
Arkëtimet
arkëtimeve të ardhëshme në 3 vite ∑PVI+II+III
1
2
= 2976 €, dhe Vlera e Tanishme Neto
rezulton negative:
I
1 000
NPV = −24€ =2976€ – 3000€
II
2 500

1/(1+0,30n

PV

3

4=2*3

1/(1+0,29)1 = 0,775

775

2

1 502

3

1/(1+0,29) = 0,466

699

niveleve të skajshme dhe mbi këtë bazë
∑PVI+II+III
llogaritet IRR duke u bazuar në formulën e
NPV=∑PVI+II+III −I=2976−3000
interpolimit. IRR kërkohet të gjendet
ndërmjet 14% dhe 29%, duke pasur parasysh se është shumë pranë 29%.
Në këtë rast Për thjeshtësim të formulës së interpolimit ndërtojmë pasqyrën:

2 976

Hapi III: Interpolohet ndërmjet dy

III

1 500

1/(1+0,29) = 0,601

r0 = 14%= 0,14

14% < IRR= r1+X=14%+X=? < 29%

r1 = 29%= 0,29

NPV0=NPV14%= 813€

NPVIRR=NPV14%−29%= 837€ = 813−(−24)

−24

NPV1=NPV29%= −24

14% < IRR= 14%+X=? < 29%
X=Δr*NPV0/NPV1=(r1−r0) *NPV0/NPV1
X=14,57%=0,1457=(0,29−0,14) *813/837
IRR= 28,57%=14%+X=14%+14,57%
Sipas formulës së interpolimit IRR=18,57% që d.t.th., se përderisa norma e brendshme e
shlyerjes është më e lartë se kostoja e kapitalit [IRR=28,57%>14%=ikapitalit] atëherë projekti duhet
pranuar! Metoda e mësipërme quhet edhe metodë e provës dhe gabimit (trial and error method).

____________________
Metoda e Normës së Brendshme të Shlyerjes për Vendime Optimale:
Zgjedhje për të Pranuar ‘Po’ ose për të Refuzuar ’Jo’
Metoda e shlyerjes së brendshme përdoret edhe për të zgjedhur ndërmjet dy projekteve se në
cilin duhet investuar. Aplikimi konkret jepet nga shembulli ne vijim:
Shembull: Personi A gjendet përballë një projekti me dy propozime:

1-Propozimi I Të blejë një truall për 50 000€, të ndërtojë 300 000€ duke pasur një ndërtesë për 350 000€

që mund ta shesë për 400 000€.
2-Propozimi II Të mos e shesë ndërtesën por ta japë me qira për 3 vjet me 16 000€ në vit dhe në fund të vitit
të tretë ta shesë ndërtesën për 450 000€. Të dy vendimet kanë një kosto oportuniteti për kapitalin për 7% [duke
supozuar se alternativa e sakrifikuar nga A është investimi i parave në të mira thesari me 7% në vit]. Sipas të dhënave
rezulton kjo rrjedhje në të holla [CF]:

67

000/Euro
Nga të dhënat kuptohet që
CF0
CF1
CF2
CF3
IRR
NPV 7%
Projekti
propozimi i dytë është më i
+14.29 +24 €
argumentuar ekonomikisht, i cili Propozim I –350 +400
megjithëse ka një normë të Propozim II –350 +16
+16 +466 +12.96 +59 €
brendshme shlyerje IRRII=12,96% që
është më e vogël se sa propozimi i parë që ka normë të brendshme shlyerje IRRI=14,29%, Propozimi
i dytë ka një vlerë të tanishme neto [NPVII= 59 mijë euro] apo 2,45 herë më të madhe se sa vlera e
tanishme neto e propozimit të parë [NPVI= 24 mijë euro].
■Kriteri sipas VLERËS NETO TË TANISHME funksionon gjithnjë!
■Kriteri sipas NORMËS SË BRENDSHME TË SHLYERJES nuk funksionon gjithnjë!

Duhet kuptuar drejt se kur vlera e tanishme neto është më e lartë me rritjen e normës së skontos, projekti pranohet vetëm
nëse norma e brendshme e shlyerjes është më e ulët se kostoja e oportunitetit të kapitalit.
Nga ana tjetër, nëse në rrjedhjen në të holla hasen ndryshime të shumëfishta, kriteri i normës së brendshme të shlyerjes
nuk funksionon, ndërsa kriteri sipas vlerës neto të tanishme funksionon gjithnjë.
______________

2.5.2-Aplikime të NPV: Metoda e Vjetorizimit të Shlyerjeve
Metoda e Vjetorizimit të Shlyerjeve
Metoda e vjetorizimit të shlyerjeve konsiston në përkthimin në shkallë vjetore të shlyerjeve që
një investim jep në periudha përbërëse brenda një viti p.sh., në periudha ditore, mujore, 3 mujore, etj.,
Në SHBA, Shoqata e Amvisimit dhe e Kërkimeve (association of management and research) [SHBA]
rekomandon se për investime të vetme mund të përdoret formula:
R=(1+r)n/1vit
Ku: R =norma vjetore e shlyerjes, r =ndryshimi në përqindje i vlerës së titullit,
n=numri i ditëve [muajve ose 3-mujorëve] deri në maturim apo gjatë së cilës mbahet e sigurta ndaj nivelit vjetor.
Shembull: Individi A zotëron 100 aksione të firmës BCD të cilat i ka blerë për 10 USD dy muaj më parë [A i
ka mbajtur aksionet për 3 muaj=90 ditë=1/4 e vitit]. Ndërkohë, individi A vëren se çmimi i aksionit BCD është
rritur në 11,5 USD dhe vendos ti shesë.
Zgjidhje
Për të llogaritur shlyerjen që individi A e ka marrë në kushte vjetore, duhen bërë zëvendësimet: eksponenti
n=4 tremujorë [=4/1], norma e rritjes është 15% =0,15 [=11,5 USD/10 USD] dhe duke zëvendësuar në formulë
rezulton:
R=(1+r)n-1
R=74,9% = (1+0,15)4-1

Metoda e Skontos së Bankës
Metoda e skontos së bankës ose norma e skontos së bankës (bank discount method/yield) është
normë interesi e vjetorizuar sipas një norme të thjeshtë interesi dhe me bazë viti prej 360 ditësh. Kjo
aplikohet për të llogaritur shlyerjen për njësi monetare të investuar ose të huadhënë duke u bazuar në
vlerën e emërtuar në instrument dhe jo në çmimin e blerjes së tij.

68

Amvsimi/Drejtimi Financiar --Kapitulli 2 vlera kohore e parase dhe aparati matematik

Amvsimi/Drejtimi Financiar --Kapitulli 2 vlera kohore e parase dhe aparati matematik

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Amvsimi/Drejtimi Financiar --Kapitulli 2 vlera kohore e parase dhe aparati matematik

Similaire à Amvsimi/Drejtimi Financiar --Kapitulli 2 vlera kohore e parase dhe aparati matematik (20)

Amvsimi/Drejtimi Financiar --Kapitulli 2 vlera kohore e parase dhe aparati matematik