Μαθηματικά Ε΄ 7.44. ΄΄ Καθετότητα, ύψη τριγώνου ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 7 - Κεφάλαιο 44
΄΄ Καθετότητα, ύψη τριγώνου ΄΄
http://e-taksh.blogspot.gr
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Εγκύκλιος Παιδεία
ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ, ΥΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο:
 όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν
τις προεκτείνουμε, ονομάζονται παράλληλες ευθείες
 όταν έχουν ένα κοινό σημείο
ονομάζονται τεμνόμενεςευθείες(πλάγια)
 Αν οι δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν μια γωνία ορθή
τότε όλες οι γωνίες του είναι ορθές και οι ευθείες
ονομάζονται κάθετες.
Από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε με το γνώμονα μία
μόνο ευθεία κάθετη σε άλλη ευθεία
ΚΛΙΚ

Σε ένα τρίγωνο, το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια
κορυφή με την απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος τριγώνου.
Για να κατασκευάσουμε ύψος σε ένα τρίγωνο, φέρνουμε
κάθετο από την κορυφή Γ στην πλευράΑΒ(πρόσεξε:η βάση
του γνώμονα να "πατάει" πάνω στην πλευρά ΑΒ)
Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη
Τα τρία ύψη κάθε τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο(περνάνε
από το ίδιο σημείο)
ΚΛΙΚ (δοκίμασε και για ορθογώνιο και για αμβλυγώνιο
τρίγωνο)
Αναρτήθηκε από ΝΙΚΟΣ στις Πέμπτη, Μαΐου 07, 2009

Καθετότητα - Ύψη τριγώνου (24/02)
Τι είναι η απόσταση ;
Πολλές φορές χρησιμοποιούμε τη λέξη απόσταση και εννοούμε
πόσο απέχει ένα σημείο από ένα άλλο.
Στη Γεωμετρία απόσταση είναι κάτι πιο εξειδικευμένο :
Απόσταση ενός σημείου από ένα άλλο είναι το μήκος του
ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει.
Απόσταση ενός σημείου από μια ευθεία, ημιευθεία ή
ευθύγραμμο τμήμα είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινάει
από το σημείο και τέμνει κάθετα την ευθεία.
Τι σχέση μπορεί να έχουν μεταξύ τους δυο ευθείες ;
Δυο ευθείες μπορεί :
Ευθείες παράλληλεςΕυθείες τεμνόμενες
Να είναι παράλληλες. Να μην έχουν δηλαδή κανένα κοινό σημείο.
Να είναι τεμνόμενες. Να έχουν δηλαδή ένα κοινό σημείο.
Πώς φέρουμε κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από ένα σημείο προς
μια ευθεία ;
Για να φέρουμε από το σημείο Α κάθετο ευθύγραμμο τμήμα προς
την ευθεία ε :

Σχεδιάζω την
ευθεία ε και
σημειώνω ένα
σημείο Α έξω
από αυτήν.
Τοποθετώ το
ορθογώνιο τρίγωνο
έτσι ώστε η μία
κάθετη πλευρά να
ακουμπάει (να
εφάπτεται) στην
ευθεία ε.
Μετακινώ πάνω στην
ευθεία ε το τρίγωνο,
έτσι ώστε η άλλη
κάθετη πλευρά να
συναντήσει το σημείο
Α.
Σχεδιάζω την
ευθεία ε΄που
τέμνει την ε στο
σημείο Β και
περνάει από το
Α.
Οι δυο ευθείες ε και
ε΄είναι κάθετες μεταξύ
τους. Το ευθύγραμμο
τμήμα ΑΒ είναι
κάθετο στην ευθεία ε.
Το ευθύγραμμο τμήμα
ΑΒ είναι η απόσταση
του σημείου Α από
την ευθεία ε.
Τι είναι το ύψος τριγώνου ;
κορυφή με την απέναντι πλευρά (η απόσταση δηλαδή της
κορυφής από την απέναντι πλευρά)ονομάζεται ύψος τριγώνου.
Κάθε τρίγωνο έχει 3 ύψη.

Ταξίδι στον κόσμο της Έκτης!
Πώς σχεδιάζω τα ύψη ενός τριγώνου
Για να δούμε, πώς σχεδιάζουμε τα ύψη ενός τριγώνου:
α) Οξυγώνιο τρίγωνο
Σχεδιάζω ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. (κλικ στην εικόνα για
μεγέθυνση)
Ξεκινάω με τη γωνία Α.
Για να φέρω το ύψος από τη γωνία Α , εφαρμόζω τη μία κάθετη
πλευρά του ορθογωνίου μου στην απέναντι πλευρά της γωνίας Α
που είναι η ΒΓ.
Τη σέρνω μέχρι η άλλη κάθετη πλευρά να συναντήσει τη γωνία Α.
Μόλις είμαι σίγουρος ότι ο γνώμονάς μου είναι στη σωστή θέση,
σχεδιάζω το ύψος. Εκεί που κόβει τη ΒΓ , ονομάζω το σημείο Δ.
Και έτσι έχω το ύψος ΑΔ.

Με τον ίδιο τρόπο σχεδιάζω τα ύψη ΒΕ και ΓΖ.( Δείτε τις εικόνες.)

Παρατηρώ επίσης ότι όλα τα ύψη περνάνε από το ίδιο σημείο.
β) Ορθογώνιο τρίγωνο:
Έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

Ξεκινάμε να φέρουμε το ύψος από τη γωνία Α στην απέναντι
πλευρά ΒΓ.
Παρατηρούμε ότι μόλις βάλουμε πάνω στην πλευρά ΒΓ,τη μία
κάθετη πλευρά του γνώμονά μας και την άλλη να συναντήσει τη
γωνία ,τότε το ύψος που σχηματίζεται είναι η πλευρά ΑΒ.
Άρα σε αυτήν την περίπτωση το ένα ύψος είναι η πλευρά ΑΒ.

Στη συνέχεια πάμε να βρούμε το ύψος που ξεκινά από τη γωνία Β
Φέρνω τη μιά κάθετη πλευρά του γνώμονά μου στην απέναντι
πλευρά της γωνίας Β που είναι η ΑΓ.
Την άλλη κάθετη πλευρά την ταιριάζω στη γωνία Β.
Σχεδιάζω το ύψος ΒΔ.
Αφού λοιπόν βρήκαμε και το δεύτερο ύψος, πάμε να βρούμε και το
τρίτο που ξεκινάει από τη γωνία Γ.
Βάζω τη μια κάθετη πλευρά του γνώμονά μου στην απέναντι
πλευρά , την ΑΒ, και διαπιστώνω όπως στην πρώτη περίπτωση,
ότι η πλευρά ΒΓ, είναι και το ύψος από τη γωνία Γ.

Άρα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τα δύο από τα τρία ύψη , είναι οι
δυο κάθετες πλευρές του.
Όλα τα ύψη του περνούν από το ίδιο σημείο ,που είναι το σημείο Β.
γ) Αμβλυγώνιο τρίγωνο
Έχω ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Η αμβλεία γωνία είναι η Γ.
Ξεκινάω να φέρω το πρώτο ύψος από τη γωνία Α. Εφαρμόζω τη
μία κάθετη πλευρά του γνώμονά μου στην απέναντι πλευρά ΒΓ.
Βλέπω όμως ότι έτσι όπως είναι δεν με φτάνει για να συναντήσει η
άλλη κάθετη πλευρά, τη γωνία Α.

Για αυτό το λόγο προεκτείνω τη ΒΓ ώστε να μπορώ να συναντήσω
την Α γωνία.
Έτσι αφού την προέκτεινα τοποθετώ ξανά τη μία κάθετη πλευρά
του γνώμονα πάνω στην προέκταση της ΒΓ και τώρα πλέον
μπορώ με την άλλη κάθετη πλευρά του να συναντήσω τη γωνία Α.
Ονομάζω το ύψος που σχηματίζεται ΑΔ κι έτσι έχω το πρώτο ύψος.

Στη συνέχεια πάω να φτιάξω το ύψος που ξεκινά από τη γωνία Β.
Βάζω λοιπόν τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονά μου στην
απέναντι πλευρά της Β γωνίας που είναι η πλευρά ΑΓ. Βλέπω
όμως όπως και στην πρώτη περίπτωση ότι δεν μου φτάνει για να
συναντήσει η άλλη κάθετη πλευρά τη γωνία Β.
Για αυτό λοιπόν προεκτείνω την ΑΓ και γίνεται έτσι:
Πάνω στην προέκτασή της τοποθετώ τη μία κάθετη πλευρά του
γνώμονά μου και στη γωνία Β την άλλη κάθετη πλευρά του.
Σχεδιάζω το ύψος ΒΕ.

Έτσι έχω και το δεύτερο ύψος. Τώρα, μου λείπει το τρίτο ύψος που
θα ξεκινήσει από τη γωνία Γ.
Τοποθετώ τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονα στην απέναντι
πλευρά της, την ΑΒ και την άλλη πάνω στην γωνία Γ.
Έτσι έχω το τρίτο ύψος που το ονομάζω ΓΖ.
Έφτιαξα λοιπόν τα τρία ύψη του αμβλυγώνιου τριγώνου και
παρατηρώ ότι τα δύο ύψη είναι εκτός (τα ΑΔ και ΒΕ) τριγώνου και
το ένα εντός του (ΓΖ).
Για να δω αν συναντιούνται όλα στο ίδιο σημείο, πράγμα που
δείχνει ότι είμαι σωστός στην κατασκευή μου , προεκτείνω και τα
τρία ύψη.

Αν συναντηθούν στο ίδιο σημείο , τα κατάφερα μια χαρά. Αν όχι
πρέπει να ξαναπροσπαθήσω.
Σας θυμίζω ότι ο σχεδιασμός των υψών ενός τριγώνου δεν είναι
κάτι απλό. Θέλει μελέτη και επιμονή μέχρι να γίνει σωστά.
Κάντε λοιπόν προπόνηση μέχρι να τα καταφέρετε και το
αποτέλεσμα θα σας ενθουσιάσει!
Αναρτήθηκε από Κύριος Γιώργος

Γιάννης Φερεντίνος

Ποιες ευθείες λέγονται κάθετες;
 Δυο ευθείες οι οποίες τέμνονται και σχηματίζουν γωνίες
90ο λέγονται κάθετες.

Σχεδιασμός ορθής γωνίας
 Μπορούμε να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες
χρησιμοποιώντας την ορθή γωνία του γνώμονα.
90ο

Χάραξη κάθετης από σημείο
σε ευθεία
 Από ένα σημείο μπορούμε να χαράξουμε κάθετη προς
μια ευθεία, χρησιμοποιώντας την ορθή γωνία του
γνώμονα.
 Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που προκύπτει είναι η
συντομότερη διαδρομή από το σημείο προς την
ευθεία και ονομάζεται απόσταση.

Χάραξη κάθετης από σημείο
σε ευθεία
.

Ύψος τριγώνου
 Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινάει από μια
κορυφή τριγώνου και καταλήγει στην απέναντι
πλευρά του τριγώνου, ονομάζεται ύψος του τριγώνου.

Ύψη τριγώνου
 Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.
Γιάννης Φερεντίνος

ΤΡΙΓΩΝΑ

Α1 Το τρίγωνο
1. Ορίζουμε τρία
σημεία Α, Β, Γ
πάνω στο επίπεδο
2. Ενώνουμε τα
σημεία Α, Β, Γ
3. Χρωματίζουμε το
εσωτερικό του
σχήματος που
προκύπτει
Α Β
Γ
Το σχήμα που
προκύπτει είναι το
τρίγωνο ΑΒΓ

Α2 Στοιχεία τριγώνου
Α Β
Γ
Τα κύρια στοιχεία του
τριγώνου ΑΒΓ είναι:
• Οι τρεις πλευρές
ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ
• Οι τρεις γωνίες
Â, Β και Γ

Α3 Ύψος τριγώνου
Α Β
Γ
 Φέρνουμε κάθετο από
την κορυφή Γ στην
πλευρά ΑΒ
Δ
 Το ευθύγραμμο τμήμα
ΓΔ είναι το ύψος του
τριγώνου
 Η πλευρά ΑΒ είναι η
βάση του τριγώνου
Γ
Δ
ύψος
βάση

Α4 Ύψη τριγώνου
 Χρησιμοποιώντας το
γνώμονά μας ας
προσπαθήσουμε να
χαράξουμε τα τρία ύψη
του τριγώνου ΑΒΓ.
Α Β
Γ
Δ
Ε
ΖΟ
Όλα τα ύψη
περνούν από το
σημείο Ο

Β. Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες τους
Α
Γ
Β
50ο
60ο
70ο
Δ Ε
Ζ
Η
Ι
Θ
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
οξυγώνιο, γιατί έχει
όλες τις γωνίες οξείες
30ο
45ο105ο
Το τρίγωνο ΔΕΖ είναι
αμβλυγώνιο, γιατί έχει
μια γωνία αμβλεία
90ο
40ο
50ο
Το τρίγωνο ΗΘΙ είναι
ορθογώνιο, γιατί έχει
μια γωνία ορθή
Το άθροισμα των γωνιών κάθε
τριγώνου είναι 180ο
50ο+70ο+60ο=180ο 105ο+45ο+30ο=180ο 90ο+50ο+40ο=180ο

Γ1 Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές τους
Α
Γ
Β Δ Ε
Ζ
Η
Ι
Θ
5 εκ.5 εκ.6 εκ.
Το τρίγωνο ΑΒΓ
είναι σκαληνό, γιατί
έχει όλες τις πλευρές
του άνισες
Το τρίγωνο ΔΕΖ
είναι ισοσκελές,
γιατί έχει δύο
πλευρές ίσες
Το τρίγωνο ΗΘΙ
είναι ισόπλευρο,
γιατί έχει όλες τις
πλευρές του ίσες

Γ2 Περίμετρος τριγώνων
Δ Ε
Ζ
Η
Ι
Θ
5 εκ.
5 εκ.
6 εκ.
Α
Γ
Β
Περίμετρος του ΑΒΓ
Περίμετρος του ΔΕΖ
Περίμετρος του ΗΘΙ
Το άθροισμα των μηκών των πλευρών
ενός τριγώνου λέγεται περίμετρος
6 + 6,5 + 5,4 =19,9 εκ. 5 + 6,5 + 6,5 = 18 εκ. 5 + 5 + 5 = 15 εκ.

Γ3 Σύγκριση γωνιών των τριγώνων
Όλες οι γωνίες
είναι άνισες
Οι γωνίες απέναντι από τις
ίσες πλευρές είναι ίσες
Όλες οι γωνίες
είναι ίσες
Α
Γ
Β
σκαληνό
Δ Ε
Ζ
ισοσκελές
Η
Ι
Θ
ισόπλευρο
60ο
60ο 60ο
40ο
70ο 70ο
60ο
70ο 50ο

Δ1 Κατασκευές τριγώνων
1η Κατασκευή
Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο έχει πλευρές
ΑΒ = 5 εκ., ΑΓ = 3 εκ. και Â = 70ο .
Α 70ο
3 εκ.
Γ
5 εκ.
Β
3. Μετράμε την
ΑΓ = 3 εκ.
2. Μετράμε την
ΑΒ = 5 εκ.
4. Ενώνουμε τα
σημεία Γ και Β
1. Κατασκευάζουμε
τη γωνία Â=70ο

Δ2 Κατασκευές τριγώνων
Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο έχει
πλευρά ΑΒ = 5 εκ., γωνία A = 70ο και γωνία B = 40ο .
70ο
Α 5 εκ. Β
1. Χαράζουμε το
ΑΒ = 5 εκ.
τη γωνία Β = 40ο
τη γωνία Â = 70ο
40ο
4. Στο σημείο που
τέμνονται οι ημιευθείες
ημιευθείες σημειώνουμε
την κορυφή Γ
Γ
40ο70ο
2η Κατασκευή

Για να ξεκινήσετε την παρουσίαση κάντε διπλό κλίκ παρακάτω στο της μπάρας
Για να συνεχίσετε κάντε κλικ στο της μπάρας
Β
Α Γ
βάσηΔ
ύψος
Ε
Πώς υπολογίζουμε το εμβαδόν τριγώνου.
• Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
• Θεωρούμε ως βάση την πλευρά ΑΓ.
• Φέρνουμε σ’ αυτήν το αντίστοιχο ύψος ΒΔ.
• Αν αντιγράψουμε το τρίγωνο ΑΒΓ και το τοποθετήσου-
με κατάλληλα έτσι ώστε να έχουν κοινή πλευρά την ΒΓ,
παρατηρούμε ότι σχηματίζεται το παραλληλόγραμμο
ΑΒΕΓ, το οποίο έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος με
το τρίγωνο ΑΒΓ.
• Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου
ΑΒΕΓ δίνεται από τη σχέση: Ε παρ = βάση Χ ύψος
• Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, που είναι το μισό του έμβαδού του παραλληλογράμ-
μου, θα δίνεται από τη σχέση:
• Παράδειγμα: Αν στο παραπάνω τρίγωνο ΑΒΓ
η βάση έχει μήκος 8 εκ. και το ύψος 7 εκ., τότε έχουμε:
Ετρ = (βάση Χ ύψος) : 2
Ετρ = (βάση Χ ύψος) : 2
Ετρ = (8 εκ. Χ 7 εκ.) : 2
Ετρ = 56 τ.εκ. : 2
Ετρ = 28 τ.εκ.

229
ëýóç
• Tïðïèåôþ ôïí ãíþìïíá ìå ôçí ìßá áðü ôéò äýï ìéêñÝò ðëåõñÝò ôïõ ðÜíù óôçí åõèåßá.
• ÓÝñíù ôïí ãíþìïíá êáôÜ ìÞêïò ôçò åõèåßáò ìÝ÷ñé ôï óçìåßï.
• Ó÷åäéÜæù ôçí åõèåßá ðïõ ðåñíÜ áðü ôï óçìåßï ðïõ åßíáé êÜèåôç óôçí áñ÷éêÞ ìïõ èÝóç.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 38
Êáèåôüôçôá, ýøç ôñéãþíïõ

230
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 39 Ôçí ßäéá áðüóôáóç åêôéìþ ðùò Ý÷ïõí ôá óçìåßá Ì, Í êáé Ë.
• ÌçäÝí åê. áðüóôáóç áðü ôçí åõèåßá åêôéìþ ðùò Ý÷åé ôï óçìåßï Æ.

231
óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçò
Üóêçóçò ä
• Ãéá íá öôéÜîïõìå ìéá ðáñÜëëçëç åõèåßá óôçí (å) ìðïñïýìå íá åíþóïõìå ôï Ì ìå ôï Ë Þ ôï
× ìå ôï 0.
• Ç åõèåßá ðåñíÜåé áðü ôá óçìåßá Ì êáé Ë ôçí ìéá öïñÜ Þ áí ó÷åäéÜóïõìå ôçí Üëëç åõèåßá
áðü ôá óçìåßá × êáé 0.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
- óôï ïîõãþíéï: âñßóêåôáé óôï åóùôåñéêü ôïõ ôñéãþíïõ.
- óôï áìâëõãþíéï: âñßóêåôáé óôï åîùôåñéêü ôïõ ôñéãþíïõ.
- óôï ïñèïãþíéï: âñßóêåôáé óôçí êïñõöÞ ôçò ïñèÞò ãùíßáò.

zeleni
Είδη γωνιών
 Η γωνία σχηματίζεται από ένα σημείο το οποίο ονομάζεται
κορυφή και δύο ευθείες οι οποίες ονομάζονται πλευρές.
Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η κορυφή είναι η Ο και οι πλευρές είναι οι ΟΑ και ΟΒ.
 Μπορούμε να ονομάσουμε μια γωνία με τρεις τρόπους:
 Με τρία κεφαλαία γράμματα, από τα οποία το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση.
 
Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η γωνία ονομάζεται ΑΟΒ ή ΒΟΑ.

 Με το γράμμα της κορυφής. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η γωνία ονομάζεται Λ.

 Με ένα μικρό γράμμα. Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα η γωνία ονομάζεται α.
 Μετρώ μια γωνία σημαίνει ότι υπολογίζω το άνοιγμα της.
 Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η μοίρα (1°).
 Το όργανο το οποίο χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε μια γωνία ή για να
κατασκευάσουμε μια γωνία, λέγεται μοιρογνωμόνιο.
 Η γωνία η οποία έχει άνοιγμα 90° λέγεται ορθή. Αν μια γωνία είναι μικρότερη από 90°
λέγεται οξεία, ενώ αν είναι μεγαλύτερη από 90°λέγεται αμβλεία.
Μάθε για τα τρίγωνα
Τι είναι τρίγωνο;
Τρίγωνο είναι το πολύγωνο
που έχει τρεις πλευρές και
τρεις γωνίες.
Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ,
ΒΓ, και ΓΑ με την επιφάνεια
που περικλείουν αποτελούν
το τρίγωνο ΑΒΓ.
Στοιχεία τριγώνου
Τα κύρια στοιχεία του 1. Πλευρές: ΑΒ, ΒΓ, και ΓΑ

zeleni
τριγώνου ΑΒΓ είναι: 2. Γωνίες: Α, Β, και Γ
Ύψος και βάση τριγώνου
Από την κορυφή Γ φέρνουμε
κάθετο στην πλευρά ΑΒ.
Αυτή τέμνει την ΑΒ στο
σημείο Δ.
Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ
είναι το ύψος του τριγώνου
και η πλευρά ΑΒ η βάση του.
Ύψη τριγώνου
Σε κάθε τρίγωνο μπορούμε
να φέρουμε τρία ύψη από
τις τρεις κορυφές.
Αν χαράξουμε τα τρία ύψη
(ΑΕ, ΒΖ, ΓΔ) του τριγώνου
ΑΒΓ παρατηρούμε ότι
τέμνονται στο σημείο Ο.
Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες
Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με το είδος των γωνιών τους:
 Αν όλες οι γωνίες ενός τριγώνου είναι οξείες, τότε το τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο.
 Αν ένα τρίγωνο έχει μία ορθή γωνία, λέγεται ορθογώνιο.
 Αν ένα τρίγωνο έχει μία αμβλεία γωνία, λέγεται αμβλυγώνιο.
Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των τριών γωνιών του είναι πάντοτε 180°.
Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Το τρίγωνο ΔΕΖ έχει Το τρίγωνο ΗΘΙ έχει
τρεις γωνίες οξείες μια γωνία αμβλεία μια γωνία ορθή.
Είναι οξυγώνιο. Είναι αμβλυγώνιο. Είναι ορθογώνιο
Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές
Υπάρχουν τρία είδη τριγώνων σε σχέση με τις πλευρές τους:
 Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο.
 Αν δύο μόνο από τις πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το τρίγωνο λέγεται ισοσκελές.
 Αν όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι διαφορετικές μεταξύ τους, τότε το τρίγωνο
λέγεται σκαληνό.
Τα τρίγωνα μπορούμε να τα χαρακτηρίσουμε και ως προς τις πλευρές τους
και ως προς τις γωνίες τους.

zeleni
Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες.
Στο ισοσκελές τρίγωνο δύο από τις γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες.
Το τρίγωνο ΚΛΜ έχει Το τρίγωνο ΝΞΟ έχει Το τρίγωνο ΠΡΣ έχει
τρεις άνισες πλευρές. δύο πλευρές ίσες. τρεις πλευρές ίσες
Είναι σκαληνό Είναι ισοσκελές. Είναι ισόπλευρο
κι άλλα τρίγωνα
Τα ισόπλευρα τρίγωνα έχουν όλες τις
γωνίες τους ίσες με 60ο
.
Τα ισοσκελή τρίγωνα απέναντι από τις ίσες
πλευρές έχουν ίσες γωνίες
Αυτό το τρίγωνο είναι
ορθογώνιο και ισοσκελές
Αυτό το τρίγωνο είναι
αμβλυγώνιο και ισοσκελές
Καθετότητα
 Δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται και σχηματίζουν γωνίες 90° λέγονται κάθετες. Μπο-
ρούμε να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες χρησιμοποιώντας την ορθή γωνία του γνώμονα.
 Από ένα σημείο μπορούμε να χαράξουμε κάθετη προς μια ευθεία, χρησιμοποιώντας την
ορθή γωνία του γνώμονα. Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα το οποίο προκύπτει είναι η
συντομότερη διαδρομή από το σημείο προς την ευθεία και ονομάζεται απόσταση.
Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ξεκινάει από μια κορυφή τριγώνου και καταλήγει στην
απέναντι πλευρά του τριγώνου, ονομάζεται ύψος του τριγώνου. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.

zeleni
Παράδειγμα:
Πώς από ένα σημείο μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία η οποία να είναι κάθετη σε μια άλλη
ευθεία;
• Σχεδιάζουμε μια ευθεία, π.χ. την (ε), και σημειώνουμε
ένα σημείο το οποίο δεν βρίσκεται πάνω σε αυτήν, π.χ. το σημείο Α.
• Τοποθετούμε τον γνώμονά, έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να βρίσκεται πάνω στην ευθεία
(ε) και η άλλη κάθετη πλευρά να διέρχεται από το σημείο Α.
• Προεκτείνουμε την κάθετη πλευρά του γνώμονα που διέρχεται από το σημείο Α προς τα πάνω
και προς τα κάτω.Έτσι προκύπτει η ευθεία (ε') που είναι κάθετη στην ευθεία (ε).
Συμμετρία
Όταν ένα σχήμα μπορεί να χωριστεί με μια ευθεία γραμμή σε δύο τμήματα, έτσι ώστε αν
διπλώσουμε το χαρτί κατά μήκος αυτής της ευθείας γραμμής, το ένα τμήμα του σχήματος να
συμπίπτει με το άλλο, τότε το σχήμα αυτό είναι συμμετρικό ως προς άξονα συμμετρίας, ενώ η
ευθεία γραμμή η οποία χωρίζει το σχήμα στα δύο ονομάζεται άξονας συμμετρίας. Ένα σχήμα
μπορεί να έχει έναν ή περισσότερους άξονες συμμετρίας

44. Καθετότητα – ύψη τριγώνου …………………..
Μαθαίνω ...
1. Ποιες ευθείες ονομάζονται παράλληλες, τεμνόνες ή κάθετες;
Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο:
 όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν τις
προεκτείνουμε, ονομάζονται παράλληλες ευθείες
 όταν έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες ευθείες
(πλάγια)
 Αν οι δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν μια γωνία
ορθή τότε όλες οι γωνίες του είναι ορθές και οι ευθείες
ονομάζονται κάθετες.
2. Πως από ένα σημείο μπορούμε να σχεδιάσουμε δυο
κάθετες ευθείες;
o Σχεδιάζουμε μια ευθεία και
σημειώνουμε ένα σημείο μακριά
απ’ αυτήν.
o Τοποθετώ το γνώμονα, έτσι ώστε
η μια κάθετη πλευρά τυο να
ακουμπά πάνω στην ευθεία και η
άλλη πλευρά να φτάνει μέχρι το
σημείο Α και σχεδιάζω.
 Από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε με το γνώμονα μία μόνο ευθεία κάθετη σε άλλη
ευθεία και είναι η πιο σύντομη διαδρομή (απόσταση) από το σημείο προς την ευθεία.
3. Ποιο είναι το ύψος του τριγώνου και πως το κατασκευάζουμε;
κορυφή με την απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος τριγώνου.
Για να κατασκευάσουμε ύψος σε ένα τρίγωνο, φέρνουμε
κάθετο από την κορυφή Γ στην πλευρά ΑΒ (πρόσεξε:η βάση του
γνώμονα να "πατάει" πάνω στην πλευρά ΑΒ)

4. Πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο;
Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.
Τα τρία ύψη κάθε τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο
(περνάνε από το ίδιο σημείο).
Εξάσκηση
1. Με τη βοήθεια του γνώμονα, σχεδιάζω σε κάθε ερώτημα την απόσταση του σημείου από
την ευθεία.






2. Χρωματίζω τα σχήματα στα οποία αναγνωρίζω κάθετες πλευρές και σημειώνω τις ορθές
γωνίες.
Όταν σε μια άσκηση μου ζητείται να σχεδιάσω την απόσταση ενός σημείου από μια
ευθεία, τότε παίρνω το γνώμονα και φέρνω ΚΑΘΕΤΗ από το σημείο στην ευθεία.

3. Σχεδιάζω τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα. (Και τα τρία για κάθε τρίγωνο)
Ένας κολυμβητής βρίσκεται στη θάλασσα στο σημείο Κ. Ποια από τις
δύο διαδρομές πρέπει να ακολουθήσειγια να βγει γρηγορότερα
στην ακτή;
Απαντώ κι εξηγώ: .........................................................................................
........................................................................................................................................................................
4. Ονομάζω τα παρακάτω τρίγωνα (α) ως προς τις γωνίες τους, αλλά και (β) ως προς τις
πλευρές τους.
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
Όνομα: .......................................................................................................
Nansy Tzg

Όταν σε μια άσκηση μου
ζητείται να σχεδιάσω την
απόσταση ενός σημείου από
μια ευθεία, τότε παίρνω το
γνώμονα και φέρνω ΚΑΘΕΤΗ
από το σημείο στην ευθεία.
1. Με τη βοήθεια του γνώμονα, σχεδιάζω σε κάθε ερώτημα
την απόσταση του σημείου από την ευθεία.
ᵜ
ᵜ
ᵜ
ᵜ
ᵜ
ᵜ
2. Χρωματίζω τα σχήματα στα οποία αναγνωρίζω κάθετες πλευρές και σημειώνω
τις ορθές γωνίες.

3. Σχεδιάζω τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα.
4. Ονομάζω τα παρακάτω τρίγωνα (α) ως προς τις γωνίες τους,
αλλά και (β) ως προς τις πλευρές τους.
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
(α)
(β)
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ
‘’Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις
πλευρές - Ύψη τριγώνου’’
Κανέλλα Κούτση
ΚΣΕ 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ
ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΠΑΛΚΙΖΑΣ
ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ 2010

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ‘’Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου’’
Κανέλλα Κούτση 2
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ
Κανέλλα Κούτση
1. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ
1.1 Τίτλος διδακτικού σεναρίου
Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου.
1.2 Εμπλεκόμενες γνωστικές περιοχές
Οι γνωστικές περιοχές που εμπλέκονται στη διαδικασία είναι τα Μαθηματικά και
ειδικότερα ο κλάδος της Γεωμετρίας.
1.3 Τάξεις στις οποίες μπορεί να απευθύνεται
Το σενάριο εντάσσεται στο γνωστικό αντικείμενο της Γεωμετρίας Ε’ Δημοτικού και
συγκεκριμένα στις ενότητες «Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις
πλευρές - Ύψη τριγώνου» (Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού, Βιβλίο Μαθητή, ενότητες 43-
44, σελ. 112-115) (ΥΠΕΠΘ/Π.Ι., 2006).
1.4 Συμβατότητα με το Α.Π.Σ. και το Δ.Ε.Π.Π.Σ.
Το παρόν σενάριο είναι συμβατό με το ΔΕΠΠΣ και το ΑΠΣ του μαθήματος των
Μαθηματικών αφού συνδέεται με τους γενικούς στόχους και με βασικές
θεμελιώσεις έννοιες της Γεωμετρίας (ΥΠΕΠΘ/Π.Ι., 2003:252) και ειδικότερα στις
θεματικές ενότητες: Επίλυση προβλήματος, σελ. 267-268 και Μετρήσεις, σελ. 270. Ο
κεντρικός άξονας του εκπαιδευτικού σεναρίου αφορά στην άσκηση της
παρατηρητικότητας των μαθητών και της ικανότητάς τους να μεταφέρουν
διαδικασίες και γνώσεις τυπικής μαθησιακής διαδικασίας σε περιβάλλοντα ΤΠΕ.
1.5 Οργάνωση της διδασκαλίας & απαιτούμενη υλικοτεχνική υποδομή
Οργάνωση της Διδασκαλίας
Οι μαθητές χωρίζονται σε ανομοιογενείς ομάδες των πέντε ατόμων. Στην ομάδα
καλό είναι να συμπεριλαμβάνεται ένας μαθητής που χειρίζεται καλά τον
ηλεκτρονικό υπολογιστή. Στις ομάδες ανατίθεται κάθε φορά η ίδια εργασία.

Γνωστικά Προαπαιτούμενα
Οι μαθητές γνωρίζουν ήδη τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές τους και ως
προς τις γωνίες. Μπορούν να μετρούν τις γωνίες με το μοιρογνωμόνιο. Επίσης
μπορούν να φέρουν κάθετο από ένα σημείο προς μια ευθεία. Ξέρουν τα βασικά
στοιχεία χρήσης ενός υπολογιστή. Πριν από την έναρξη των δραστηριοτήτων γίνεται
μια παρουσίαση των προγραμμάτων που θα χρησιμοποιήσουν.
Απαιτούμενη Υλικοτεχνική Υποδομή
Το μάθημα γίνεται στο εργαστήριο πληροφορικής του σχολείου και χρησιμοποιείται
ανάλογος, με τις ομάδες, αριθμός Η/Υ, όπου είναι εγκατεστημένα όλα τα
απαραίτητα λογισμικά. Πιο συγκεκριμένα, απαιτούνται:
• Φύλλα εργασίας.
• Επεξεργαστής κειμένου (Microsoft Word).
• Λογισμικό εννοιολογικής χαρτογράφησης (Inspiration).
• Λογισμικό Δυναμικής Γεωμετρίας (Sketchpad).
• Το βιβλίο του μαθητή Γεωμετρίας και το τετράδιο Εργασιών.
• Προτζέκτορας.
1.6 Διδακτικοί Στόχοι
Οι μαθητές επιδιώκεται:
Α. Ως προς το γνωστικό αντικείμενο
• Να διακρίνουν τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις
πλευρές, καθώς και τις ιδιότητές τους.
• Να βρίσκουν τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες και στις πλευρές ενός
ισοσκελούς τριγώνου.
• Να παρατηρήσουν τη σχέση ανάμεσα στα ύψη κάθε είδους τριγώνου.
Β. Ως προς τη χρήση των νέων τεχνολογιών
• Να κατηγοριοποιούν τα είδη των τριγώνων με πρόγραμμα εννοιολογικής
χαρτογράφησης.
• Να κατασκευάζουν τρίγωνα και να μετρούν γωνίες σε περιβάλλον Δυναμικής
Γεωμετρίας.

• Να σχεδιάζουν ύψη στον υπολογιστή και να παρατηρούν ότι συναντιούνται
στο ίδιο σημείο.
• Να συλλέγουν, να καταγράφουν δεδομένα και με βάση αυτά και τις
παρατηρήσεις τους να εξάγουν ανάλογα συμπεράσματα.
Γ. Ως προς τη μαθησιακή διαδικασία
• Να ενεργοποιηθούν, να κάνουν υποθέσεις και να τις ελέγχουν ως προς την
ορθότητά τους.
• Να εργάζονται ομαδικά αλλά και ατομικά, καλλιεργώντας το διάλογο, την
επιχειρηματολογία και την κριτική σκέψη.
• Να καλλιεργούν την ατομική και συλλογική τους ευθύνη για το παραγόμενο
αποτέλεσμα.
1.7 Εκτιμώμενη διάρκεια
Έξι (6) διδακτικές ώρες (3 δίωρα), στα πλαίσια του μαθήματος των Μαθηματικών.
2. Διδακτική προσέγγιση
Θεωρητική προσέγγιση
Το παρόν σενάριο βασίζεται στις θεωρίες του εποικοδομισμού του J. Piaget,
σύμφωνα με τον οποίο το παιδί αναπτύσσει τη λογική και επιστημονική του σκέψη
εξελικτικά, δηλ. κατασκευάζοντας τη γνώση με το δικό του τρόπο ως ενεργητικό
υποκείμενο. Σημαντικός παράγοντας σε αυτήν τη διαδικασία είναι το πλούσιο σε
εξωτερικά ερεθίσματα περιβάλλον με το οποίο αλληλεπιδρά ο μαθητής. Επίσης, ο
μαθητής λειτουργεί ανακαλυπτικά (J. Bruner) απέναντι στη γνώση με την
επαλήθευση ή τη διάψευση των υποθέσεών του. Έτσι δημιουργείται κίνητρο στο
μαθητή, καθοδηγούμενος από το δάσκαλο, ο οποίος έχει το ρόλο του εμψυχωτή
στην όλη διαδικασία. Με αυτόν τον τρόπο ο μαθητής οικοδομεί τελικά τη γνώση σε
σχέση αλληλεπίδρασης με το υλικό περιβάλλον και με τους συμμαθητές και το
δάσκαλό του, λειτουργώντας ως ενιαίο σύστημα σχέσεων. Με τις πολλαπλές
αναπαραστάσεις των εννοιών, στις οποίες βοηθά η χρήση τεχνολογιών, ο μαθητής
θεμελιώνει τη νέα γνώση και επαναδιαπραγματεύεται τις προηγούμενες αντιλήψεις
του (Δαγδιλέλης & άλ., 2010:28, 29, 31).

Μεθοδολογική προσέγγιση
Στο παρόν σενάριο θεωρήθηκε σκόπιμη η εφαρμογή της ομαδοσυνεργατικής
μεθόδου διδασκαλίας, κατά την οποία οι μαθητές αλληλεπιδρούν κοινωνικά μεταξύ
τους, συνεργάζονται, αποδέχονται ο ένας τη γνώμη του άλλου. Επίσης
αναδεικνύονται πολλές πιθανές λύσεις για κάποιο πρόβλημα, πράγμα που
προσφέρει στο μαθητή τη χαρά της αυτενέργειας και ενισχύει την αίσθηση της
προσωπικής δημιουργίας.
2.1 Διδακτική προσέγγιση με ΤΠΕ
Στο σενάριο χρησιμοποιείται το Inspiration ως περιβάλλον εννοιολογικής
χαρτογράφησης για να αναδειχθούν οι πρότερες ιδέες των μαθητών. Επίσης οι
μαθητές χρησιμοποιούν το Word ώστε να καταφέρουν να καταγράψουν τις
αναγκαίες δραστηριότητες στα Φύλλα Εργασίας τους. Και βέβαια, ως απαραίτητο
εργαλείο για την πραγματοποίηση του παρόντος σεναρίου επελέγη το The
Geometer’s Sketchpad, ως μέσο διερευνητικής μάθησης και ανακάλυψης της
γνώσης. Με το συγκεκριμένο πρόγραμμα επιτρέπεται στο μαθητή να εξερευνά εκ
των έσω ένα σύνολο συγκεκριμένων και αφηρημένων αντικειμένων (Μικρόκοσμος –
Papert) και σχέσεων, να τροποποιεί τις σχέσεις αυτές και να δημιουργεί νέα
αντικείμενα.
2.2 Το προτεινόμενο σενάριο
2.2.α ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
Α. 1η
& 2η
διδακτική παρέμβαση.
Δίνεται ημιδομημένος εννοιολογικός χάρτης που αναφέρεται στα είδη των τριγώνων
με βάση τις πλευρές και τις γωνίες, με σκοπό την ανίχνευση των προηγούμενων
ιδεών των μαθητών. Ο χάρτης συμπληρώνεται ομαδικά από το δάσκαλο ύστερα από
συζήτηση και με τη βοήθεια του προτζέκτορα. Καταγράφονται αναλυτικά τα είδη
των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες, πάντα με τη βοήθεια του
δασκάλου, και δίνεται ένας ορισμός για το κάθε είδος χωριστά. Γίνεται σχετική
συζήτηση και δίνονται εξηγήσεις σε σχέση με τη χρήση του προγράμματος του
Inspiration. Επίσης συμπληρώνεται το 1ο
Φύλλο Εργασίας, όπου τα παιδιά

χωρισμένα σε ομάδες δίνουν τον ορισμό του τριγώνου και κατασκευάζουν τα είδη
των τριγώνων με βάση τις οδηγίες του φύλλου εργασίας και τη βοήθεια του
δασκάλου.
Β. 3η
& 4η
Παρουσιάζονται με παραδείγματα το Word και το Sketchpad προκειμένου οι
μαθητές να γνωρίσουν βασικές λειτουργίες του υπολογιστικού περιβάλλοντος στο
οποίο θα δουλέψουν. Σχεδιάζουν τα τρίγωνα και τα μελετούν -με βάση τις
δυνατότητες του Sketchpad- ως προς τις γωνίες και τις πλευρές τους. Στη συνέχεια
δίνεται στους μαθητές το 2ο
Φύλλο Εργασίας. Σε αυτό (το οποίο αναφέρεται στις
σχέσεις γωνιών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο) οι μαθητές ξεκινούν με την κατασκευή
ενός ισοσκελούς τριγώνου στο Sketchpad, ακολουθώντας λεπτομερώς τη
διαδικασία. Με τον ίδιο τρόπο φτιάχνουν και δύο ακόμα ισοσκελή τρίγωνα.
Υπολογίζουν τις γωνίες του κάθε τριγώνου και συμπληρώνουν τον πίνακα που
περιλαμβάνεται στο φύλλο εργασίας. Συμπληρώνουν την παρατήρησή τους και
εξάγουν το συμπέρασμά τους για τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες σε όλα τα τρίγωνα.
Γ. 5η
& 6η
Με βάση το 3ο
Φύλλο Εργασίας (το οποίο αναφέρεται στις σχέσεις ανάμεσα στα
ύψη ενός τριγώνου) οι μαθητές αρχικά κατασκευάζουν ένα οξυγώνιο τρίγωνο στο
Sketchpad με βάση τις οδηγίες που τους έχουν δοθεί. Στη συνέχεια, κατασκευάζουν
τα τρία ύψη του συγκεκριμένου τριγώνου ακολουθώντας ξανά τη διαδικασία που
τους δίνεται. Το ίδιο κάνουν με ένα αμβλυγώνιο -κινώντας αναλόγως τη μία κορυφή
του προϋπάρχοντος τριγώνου- και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Καταγράφουν τις
παρατηρήσεις τους για τα ύψη του κάθε τριγώνου και εξάγουν το συμπέρασμά τους
στο 3ο
Φύλλο Εργασίας.
2.3. Συνοδευτικά φύλλα εργασίας
2.3.α Φύλλα εργασίας δραστηριοτήτων
(βλ. στο τέλος του σεναρίου)

2.4 Επέκταση - Αξιολόγηση
2.4.α Επέκταση
Το παρόν σενάριο θα μπορούσε να επεκταθεί και στη μελέτη άλλων πολυγώνων με
ανάλογες δραστηριότητες και τη βοήθεια του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.
2.4.β Αξιολόγηση
α) Διαμορφωτική
Κατά τη διάρκεια εφαρμογής των δραστηριοτήτων τα παιδιά επέδειξαν αρκετό
ενδιαφέρον και συνεργάστηκαν αρκετά καλά. Στο συγκεκριμένο εργαστήριο Η/Υ
όπου εφαρμόστηκε, πρόβλημα δημιουργήθηκε από το μη επαρκή αριθμό
υπολογιστών, πράγμα που μας ανάγκασε να αφιερώνουμε περισσότερες διδακτικές
ώρες για εργασίες που δεν απαιτούσαν κάτι τέτοιο προκειμένου οι ομάδες να
παραμείνουν πενταμελείς. Υπήρξε στην αρχή μία σύγκρουση για το ποιος θα
καθόταν μπροστά στον υπολογιστή, αλλά με την κατάλληλη καθοδήγηση της
εκπαιδευτικού τα προβλήματα σταμάτησαν. Στη συνέχεια τα ίδια τα παιδιά, με την
ενθάρρυνση της εκπαιδευτικού, άρχισαν να καταμερίζουν ρόλους προκειμένου να
επιταχυνθεί η διαδικασία (για παράδειγμα στο σχεδιασμό σχημάτων στο
περιβάλλον του Sketchpad άλλο παιδί διάβαζε τις οδηγίες σχεδιασμού και άλλο με
βάση αυτές σχεδίαζε). Οι ομάδες στην αρχή συμπλήρωναν τα Φύλλα Εργασίας τους
χειρόγραφα και στη συνέχεια τα κατέγραφαν στον υπολογιστή, καθώς δεν υπήρχε
από όλους εξοικείωση με τους Η/Υ.
β) Τελική
Μετά την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων έγινε μια συζήτηση με τα παιδιά
σχετικά με τη γνώμη τους για την όλη διαδικασία. Σε αυτήν τα παιδιά εξέφρασαν
πολύ θετικές απόψεις για αυτού του είδους τη διδακτική προσέγγιση. Η ανάπτυξη
των προαναφερόμενων διδακτικών ενοτήτων με τη χρήση Η/Υ τα έκανε να
προσεγγίσουν, με λιγότερο «φόβο κατανόησης», περιοχές της Γεωμετρίας οι οποίες
χρειάζονται από αρκετά παιδιά πολύ κόπο και χρόνο προκειμένου να τις
κατακτήσουν.

3. Βιβλιογραφία
Δαγδιλέλης, Β., & άλ., (2010), Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών για την Αξιοποίηση και
Εφαρμογή των ΤΠΕ στη Διδακτική. Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των
εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης. Τεύχος 1: Γενικό Μέρος.
Πάτρα: ΥΠ.Ε.Π.Θ., Π.Ι., Ε.Α.Ι.Τ.Υ. Προσπελάστηκε: 20 Ιουνίου 2010, από http://b-
epipedo2.cti.gr/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=49&Itemid=
50.
Κόμης, Β., & άλ., (2008), Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών στη Χρήση και Αξιοποίηση των
ΤΠΕ στην Εκπαιδευτική Διδακτική Διαδικασία. Επιμορφωτικό υλικό για την
επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης. Τεύχος 2Α:
Κλάδοι ΠΕ60/ΠΕ70. Πάτρα: ΥΠ.Ε.Π.Θ., Π.Ι., Ε.Α.Ι.Τ.Υ. Προσπελάστηκε: 20 Ιουνίου
2010, από http://b-epipedo2.cti.gr/index.php?option=com_docman&task=
cat_view&gid=49&Itemid=50&limitstart=5.
ΥΠΕΠΘ/Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, (2003), Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο
Προγραμμάτων Σπουδών (ΔΕΠΠΣ). Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών (ΑΠΣ)
Μαθηματικών. Προσπελάστηκε: 20 Ιουνίου 2010, από http://www.pi-
schools.gr/download/programs/depps/11deppsaps_math.zip.
ΥΠΕΠΘ/Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, (2006), Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού. Βιβλίο μαθητή,
(112-115). Αθήνα: ΟΕΔΒ.

Ομάδα: ……………………………………
Μαθητές:……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
1. Να συμπληρώσετε τον εννοιολογικό χάρτη της έννοιας «τρίγωνα».
2. Να δώσετε τον ορισμό του τριγώνου.
3. Να καταγράψετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες και να τα
σχεδιάσετε.
4. Να καταγράψετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και να τα
σχεδιάσετε.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2
Ομάδα …
Δραστηριότητα 1η
: Σχέσεις γωνιών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο.
Πηγή: Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού, ενότητα 43, σελ. 112 (βιβλίο μαθητή)
Κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο ισοσκελές στο Sketchpad
καταγράφοντας λεπτομερώς τη διαδικασία κατασκευής βήμα
βήμα:
Διαδικασία κατασκευής ισοσκελούς τριγώνου βήμα βήμα:
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1. Επιλέγω το Εργαλείο σημείων από την εργαλειοθήκη.
2. Ορίζω δύο σημεία πάνω στο επίπεδο.
3. Με το Εργαλείο κειμένου ονομάζω τα σημεία πχ. Γ, Δ.
4. Με το Εργαλείο βέλους επιλογής επιλέγω και τα δύο σημεία.
5. Επιλέγω από το Μενού Κατασκευή → Τμήματος.
6. Επιλέγω από το Μενού Κατασκευή → Μέσου σημείου.
7. Με το Εργαλείο βέλους επιλογής επιλέγω και την ευθεία που
έχω ήδη κατασκευάσει.
8. Επιλέγω Κατασκευή → Κάθετης ευθείας.
9. Επιλέγω Προβολή → Πάχος γραμμής → Διακεκομμένη.
10. Με το Εργαλείο σημείων ορίζω ένα σημείο πάνω στη διάμεσο.
11. Χρησιμοποιώ το Εργαλείο κειμένου και ονομάζω το τρίτο
σημείο πχ. Ε.
12. Επιλέγω με το Εργαλείο βέλους επιλογής τα δύο από τα τρία
σημεία (πχ. Το Γ και το Ε).
13. Κατασκευάζω το ευθύγραμμο τμήμα πηγαίνοντας στο Μενού
→ Κατασκευή τμήματος.
14. Με επιλεγμένο το συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα πηγαίνω
στο Μενού → Μέτρηση μήκους.
15. Κάνω το ίδιο επιλέγοντας πάλι το άλλο σημείο του τριγώνου
(πχ. Το Δ) και πάλι το τρίτο σημείο που βρίσκεται πάνω στη
διάμεσο (πχ. Το Ε). Επαναλαμβάνω τα βήματα 12, 13, 14.
16. Σημειώνω με το Εργαλείο βέλους επιλογής την κάθε γωνία
βάζοντας στη μέση το γράμμα που αντιστοιχεί στη
συγκεκριμένη γωνία (πχ. Αν θέλω το μέγεθος της γωνίας Δ, θα
σημειώσω με το βέλος ΓΔΕ).
17. Στη συνέχεια πηγαίνω στο Μενού → Μέτρηση → Γωνίας και
μετράω τη μία γωνία βάσης.
18. Με τον ίδιο τρόπο (βήματα 16, 17) μετράω και την άλλη γωνία
βάσης, καθώς και την τρίτη γωνία.
19. Μετακινώ το σημείο Ε πάνω στη διάμεσο. Τι παρατηρώ;

Κατασκευάζουμε με τον ίδιο τρόπο και δύο άλλα ισοσκελή
τρίγωνα.
Μετράμε με τον προηγούμενο τρόπο τις γωνίες του κάθε
τριγώνου.
Συμπληρώνουμε τον πίνακα:
Γωνία μοίρες
1ο
τρίγωνο
(όνομα: )
2ο
τρίγωνο
(όνομα: )
3ο
τρίγωνο
(όνομα: )
Τι παρατηρούμε για τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες;
__________________________________________________
__________________________________________________
Συμπέρασμα: Στα ισοσκελή τρίγωνα
__________________________________________________
__________________________________________________

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
Ομάδα 2η
:
Δραστηριότητα 2η
: Σχέσεις ανάμεσα στα ύψη ενός τριγώνου.
Πηγή: Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού, ενότητα 44, σελ. 114 – 115 (βιβλίο
μαθητή)
Κατασκευάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο στο Sketchpad
βήμα:
Διαδικασία κατασκευής οξυγώνιου τριγώνου βήμα βήμα:
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1. Παίρνω από την Εργαλειοθήκη το Εργαλείο σημείων
2. Ορίζω τρία σημεία στο επίπεδο, που δεν ανήκουν στην ίδια
ευθεία.
3. Με το Εργαλείο κειμένου ονομάζω τα σημεία Γ, Δ, Ε.
4. Με το Εργαλείο βέλους επιλογής επιλέγω όλα τα σημεία.
5. Επιλέγω από το μενού Κατασκευή => Τμημάτων.
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
α. Οξυγώνιο τρίγωνο
6. Μετασχηματίζω το τρίγωνο έτσι ώστε τα μέτρα και των
τριών γωνιών να είναι μικρότερα από 90 μοίρες (οξυγώνιο
τρίγωνο).
β. Αμβλυγώνιο τρίγωνο
7. Μετασχηματίζω το τρίγωνο έτσι ώστε το μέτρο της μιας
γωνίας να είναι μεγαλύτερο από 90 μοίρες (αμβλυγώνιο
τρίγωνο).
γ. Ορθογώνιο τρίγωνο
8. Επαναλαμβάνω τα βήματα 1 έως 5.
9. Επιλέγω το ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ.
10. Επιλέγω από το μενού Κατασκευή => Μέσου σημείου.
11. Ονομάζω το σημείο Ζ.
12. Επιλέγω τα σημεία Ζ και Ε.
13. Επιλέγω από το μενού Κατασκευή => Κύκλου από το
κέντρο+σημείο.
14. Επιλέγω το σημείο Δ (που βρίσκεται εκτός κύκλου) και την
περιφέρεια του κύκλου.
15. Επιλέγω από το μενού Επεξεργασία => Συγχώνευση σημείου
σε κύκλο.

Κατασκευάζουμε τα τρία ύψη των τριγώνων στο Sketchpad
βήμα:
Διαδικασία κατασκευής υψών οξυγώνιου τριγώνου βήμα βήμα:
1. Αφού κατασκευάσουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο, επιλέγουμε
μία κορυφή του τριγώνου και την απέναντι πλευρά της με το
Εργαλείο βέλους επιλογής.
2. Έπειτα πηγαίνω στο Μενού → Κατασκευή → Κάθετης
ευθείας και φτιάχνω το πρώτο ύψος.
3. Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζω και για τα υπόλοιπα ύψη.
Επιλέγω μία κορυφή στο τρίγωνό μου και τη σέρνω έτσι ώστε να
μετασχηματίσω το τρίγωνό μου σε αμβλυγώνιο. Τι παρατηρούμε
για τα ύψη του οξυγώνιου και του αμβλυγώνιου τριγώνου;
__________________________________________________
__________________________________________________
Πηγαίνω τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο. Τι παρατηρούμε για τα
ύψη του;
__________________________________________________
__________________________________________________
Συμπέρασμα: Σε όλα τα τρίγωνα
__________________________________________________
__________________________________________________

1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΣΧΟΛΗ
ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΤΗΣ
ΑΓΩΓΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ
ΤΜΗΜΑ
ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ
ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ:
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΙΙ

ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ:
ΚΟΛΕΖΑ
ΕΥΓΕΝΙΑ

ΖΑΒΡΑΚΑ
ΔΗΜΗΤΡΑ

ΙΩΑΝΝΙΝΑ
2008

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Ε΄
ΤΑΞΗΣ

ΓΩΝΙΕΣ
ΚΑΙ
ΠΛΕΥΡΕΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ
ΣΧΗΜΑΤΩΝ
(ΣΕ
ΕΥΡΥΤΕΡΟ
ΠΛΑΙΣΙΟ)

ΕΝΟΤΗΤΕΣ:

41:
ΕΙΔΗ
ΓΩΝΙΩΝ
(ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ)

42:
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ
ΓΩΝΙΕΣ
(ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ)

43:
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ
ΠΛΕΥΡΕΣ
(ΣΥΝΔΕΣΗ
ΜΕ
ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ
ΚΑΙ
ΕΜΒΑΔΟΝ

ΤΡΙΓΩΝΟΥ)

44:
ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ-‐ΥΨΗ
ΤΡΙΓΩΝΟΥ


2

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ
ΕΝΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΤΩΝ
ΠΑΡΑΠΑΝΩ
ΕΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΙΑΡΚΕΙΑ

41.
ΕΙΔΗ
ΓΩΝΙΩΝ
1
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΩΡΑ

42.
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ
ΓΩΝΙΕΣ
2
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ
ΩΡΕΣ

43.
ΕΙΔΗ
ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΩΣ
ΠΡΟΣ
ΤΙΣ

ΠΛΕΥΡΕΣ

2
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ
ΩΡΕΣ

44.
ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ-‐ΥΨΗ
ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΩΡΑ

ΤΕΣΤ
ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
1
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ
ΩΡΑ

PROJECT
ΓΙΑ
ΤΟ
ΣΠΙΤΙ

ΣΤΟΧΟΙ
ΕΝΟΤΗΤΩΝ

Οι
μαθητές
θα
πρέπει
να
είναι
ικανοί:

• Να
μην
ταυτίζουν
τη
γωνία
με
τις
πλευρές
της
ή
την
κορυφή
αλλά
με
το
«άνοιγμα».

• Να
συγκρίνουν
τις
γωνίες
ως
προς
την
ορθή
με
χρήση
του
γνώμονα
και
του

μοιρογνωμόνιου.

• Να
χρησιμοποιούν
το
μοιρογνωμόνιο
για
να
μετρούν
και
να
φτιάχνουν
γωνίες.

• Να
ονομάζουν
γωνίες
χρησιμοποιώντας
τα
μικρά
γράμματα
της
αλφαβήτας
και
να

σωστά
την
ορολογία
που
αφορά
τις
γωνίες.

• Να
τη
σωστή
ορολογία
που
αφορά
τα
τρίγωνα
ως
προς
τις
γωνίες

τους.

• Να
γνωρίζουν
τα
είδη
γωνιών
που
περιέχονται
σε
κάθε
διαφορετικό
είδος

τριγώνου.

• Να
γνωρίζουν
ότι
το
άθροισμα
των
γωνιών
ενός
τριγώνου
είναι
180°
και
να

εφαρμόζουν
τη
γνώση
αυτή
σε
προβλήματα.

• Να
τη
σωστή
ορολογία
που
αφορά
τα
τρίγωνα
ως
προς
τις
πλευρές

τους.

• Να
αναλύουν
ένα
σύνθετο
σχήμα
σε
επιμέρους,
χρησιμοποιώντας
τρίγωνα.

• Να
γνωρίζουν
την
έννοια
της
απόστασης
σημείου
από
ευθεία
και
να
την
ταυτίζουν

με
το
μήκος
του
κάθετου
ευθύγραμμου
τμήματος
που
διέρχεται
και
από
το

συγκεκριμένο
σημείο.

• Να
μετρούν
την
απόσταση
σημείου
από
ευθύγραμμο
τμήμα.


3

• Να
χαράζουν
κάθετες
ημιευθείες
ή
ευθύγραμμα
τμήματα
από
σημείο
σε
άλλη

ημιευθεία
ή
ευθύγραμμο
τμήμα
με
τη
χρήση
του
γνώμονα
και
του
χάρακα.

• Να
γνωρίζουν
την
έννοια
του
ύψους
τριγώνου
ως
προς
την
απόσταση
μιας
κορυφής

από
την
απέναντι
πλευρά.

• Να
χαράζουν
τα
ύψη
του
τριγώνου
με
τη
χρήση
του
γνώμονα.

ΑΦΟΡΜΗΣΗ

Κάθε
ενότητα
ανοίγει
με
μια
σειρά
από
ενδιαφέρουσες
ερωτήσεις
ή
πληροφορίες

που
σχετίζονται
άμεσα
με
το
μαθηματικό
περιεχόμενο
της
ενότητας.
Σε
αυτό
το

στάδιο
της
διδασκαλίας
δεν
προσδοκούμε
από
τους
μαθητές
να
μας
απαντήσουν

σωστά.
Σκοπός
μας
είναι
να
τους
προβληματίσουμε
και
να
ακούσουμε
τί
πιστεύουν

γύρω
από
κάποιες
μαθηματικές
έννοιες
που
θα
πραγματευτούμε
παρακάτω.
Δεν

διορθώνουμε
τυχόν
λάθη
των
μαθητών,
αλλά
τα
έχουμε
υπόψη
μας
και
τα

αξιοποιούμε
αργότερα
κατά
την
επεξεργασία
της
ενότητας.

Ο
κεκλιμένος
Πύργος
της
Πίζας
είναι
ένα
από
τα
χαρακτηριστικότερα
μνημεία
της

Ιταλίας.
Είναι
γνωστός
γιατί
δεν
σχηματίζει
ορθή
γωνία
με
το
έδαφος
αλλά
γέρνει
όπως

φαίνεται
και
στη
φωτογραφία.
Πώς
θα
τη
ζωγράφιζε
ένας
ζωγράφος;


4

Στην
παραπάνω
ζυγαριά
πόσα
τρίγωνα
σχηματίζονται

και
τί
είδους
τρίγωνα
είναι;

Οι
σκεπές
των
σπιτιών
στο
χωριό
Συρράκο
του
νομού
Ιωαννίνων
έχουν
τριγωνικό

σχήμα.

Μια
σιδερόπορτα
σε
αρχαιολογικό
χώρο.
Τί
είδους
σχήματα
βλέπετε;


5

Δραστηριότητα
1:

Η
Έλενα
παρατηρεί
τη
γωνία
που
σχηματίζουν
ο
λεπτοδείκτης
και
ο
ωροδείκτης
στο

ρολόι
της.
Να
τη
βοηθήσετε
να
βρει
αν
η
γωνία
αυτή
είναι
οξεία,
ορθή
ή
αμβλεία
στις

παρακάτω
ώρες:

α)
01:15

β)12:05

γ)17:20

β)
03:50

ε)06:42

στ)11:10

ζ)
12:15

Αν
τώρα
η
ώρα
είναι
τρεις,
μετά
από
πόση
ώρα
θα
σχηματιστεί
ορθή
γωνία
μεταξύ

του
ωροδείκτη
και
του
λεπτοδείκτη;

2:

Σύγκριση
γωνιών
των
πυραμίδων
της
παραπάνω
φωτογραφίας.

Με
τη
δραστηριότητα
αυτή
οι
μαθητές
διαπιστώνουν
ότι
για
να
συγκρίνουμε
γωνίες

δεν
μπορούμε
εύκολα
να
το
πραγματοποιήσουμε
με
το
μάτι
αλλά
πρέπει
να
τις

μετρήσουμε
με
τη
βοήθεια
του
μοιρογνωμόνιου
ή
με
κάποιο
τρόπο
να
τοποθετήσουμε

τη
μια
γωνία
πάνω
στην
άλλη
με
την
κορυφή
τους
και
τη
μια
πλευρά
να
συμπίπτουν.

Μόνο
τότε
μπορούμε
με
ασφάλεια
να
συγκρίνουμε
γωνίες
και
να
διαπιστώσουμε
ότι

μεγαλύτερη
γωνία
είναι
αυτή
που
έχει
μεγαλύτερο
άνοιγμα
και
όχι
μακρύτερες

πλευρές.

3:

Να
βρείτε
ποιες
από
τις
επόμενες
τιμές
αντιστοιχούν
σε
οξείες
και
ποιες
σε
αμβλείες

γωνίες:

55°,
42°
,
131°
,
89°
,
97°,
91°,
150°,
110°,
31°,
17°,
105°

4:

Ζητάμε
από
ένα
παιδί
να
σταθεί
μπροστά
στον
πίνακα.
Τα
υπόλοιπα
παιδιά
εκτιμούν

την
απόστασή
του
από
τον
τοίχο.
Χρησιμοποιούμε
το
σπάγκο
στη
μέτρηση.
Χωρίζουμε

τους
μαθητές
σε
ομάδες.
Η
μία
ομάδα
μετρά
από
το
μαθητή
που
στέκεται
στον
πίνακα

προς
την
αριστερή
άκρη
του
τοίχου,
η
δεύτερη
ομάδα
ακριβώς
απέναντι
(κάθετα)
και
η

τρίτη
ομάδα
προς
την
άλλη
άκρη.
Συγκρίνουμε
τα
μήκη
των
τριών
σπάγκων.
Στη

συνέχεια
συζητάμε
τις
διαφορές
των
αποτελεσμάτων.


6

5:

Στην
παραπάνω
φωτογραφία
που
απεικονίζεται
ο
Πύργος
της
Πίζας
να
μετρήσετε
με

το
μοιρογνωμόνιό
σας
τις
δύο
γωνίες
αριστερά
και
δεξιά
που
μεταξύ
του

Πύργου
και
του
εδάφους.
Τί
είδους
γωνίες
σχηματίζονται;
Μπορείτε
να
σχεδιάσετε
δύο

τρίγωνα
από
τις
ευθείες
που
σχεδιάσατε
προηγουμένως;
Τί
είδους
τρίγωνα
είναι
ως

προς
τις
γωνίες
και
ως
προς
τις
πλευρές;
Σχεδιάστε
και
μετρήστε

το
ύψος
του
Πύργου

στη
φωτογραφία.

6:

Στη
ζυγαριά
της
παραπάνω
εικόνας
δύο
μεγάλα
τρίγωνα
(τί
είδους

τρίγωνα
είναι
ως
προς
τις
πλευρές;)
και
τέσσερα
μικρότερα
(τί
είδους
τρίγωνα
είναι
ως

προς
τις
γωνίες;)

7:

Σχεδιάστε
ποια
θα
είναι
η
συντομότερη
διαδρομή,
αν
θέλετε
να
περάσετε
από
το
ένα

πεζοδρόμιο
στο
άλλο.

8:

Ο
Ερμής
είναι
ένας
αθλητής
του
βάδην.
Καθημερινά
πηγαίνει
σ’
ένα
άλσος
για
να

κάνει
προπόνηση.
Το
άλσος
έχει
σχήμα
ισοσκελούς
τριγώνου
και
έχει
περίμετρο
206

μέτρα
και
η
μια
πλευρά
του
έχει
μήκος
60
μέτρα.
Ποια
είναι
τα
μήκη
των
άλλων
δύο

ίσων
πλευρών;

9:

Σε
ποια
γράμματα
του
αλφάβητου
υπάρχει
καθετότητα;

Προβληματισμός

i)Πώς
βρίσκω
το
μέτρο
μιας
γωνίας
ενός
τριγώνου,
όταν
γνωρίζω
τις
άλλες
γωνίες
του;

ii)Πώς
βρίσκω
το
μέτρο
δύο
γωνιών
ενός
τριγώνου,
όταν
γνωρίζω
την
τρίτη
γωνία
του

και
κάποια
σχέση
που
συνδέει
μια
από
τις
άγνωστες
γωνίες
με
τη
γνωστή;

iii)
Πώς
βρίσκω
το
μέτρο
δύο
γωνιών
ενός
τριγώνου,
όταν
γνωρίζω
την
τρίτη
γωνία
του

και
κάποια
σχέση
που
συνδέει
τις
δύο
άγνωστες
γωνίες;


7

Παρατήρηση:

Ο
Πυθαγόρας
βρήκε
ότι
το
άθροισμα
των
γωνιών
κάθε
τριγώνου
ισούται
με
δύο
ορθές

γωνίες
(180°).

Ακολουθούν
μερικές
διερευνητικές
δραστηριότητες.
Δουλεύοντας
με
αυτές
οι

μαθητές
αναπτύσσουν
εννοιολογική
κατανόηση,
παραγωγικό
συλλογισμό
και

διαδικαστική
ικανότητα.
Κάθε
δραστηριότητα
χτίζεται
σε
σχέση
με
τους
μαθηματικούς

στόχους
και
είναι
με
τέτοιο
τρόπο
διατυπωμένη,
ώστε
να
ευνοεί
το
μαθηματικό

συλλογισμό
και
την
επικοινωνία
μεταξύ
των
μαθητών.

Υπάρχουν
επίσης
συνδέσεις
ενδομαθηματικές
ή
μεταξύ
των
Μαθηματικών
και
άλλων

περιοχών
γνώσεις
που
στοχεύουν
στην
καλύτερη
κατανόηση
του
θέματος.
Οι

συνδέσεις
αυτές
εμφανίζονται
κάτω
από
τον
τίτλο
«
το
ήξερες
αυτό;»
ή
«Σκέψου
κι

αυτό».

Πρόβλημα
1:

Οι
αρχιτέκτονες
σχεδιάζουν
σε
κλίμακα
τα
κτίσματά
τους.
Για
την
κατασκευή
μιας

πλατείας
σχήματος
τριγώνου
γνωρίζουμε
το
εμβαδόν
του
που
είναι
30
τετραγωνικά

μέτρα.
Γνωρίζουμε
επίσης
ότι
ότι
το
ύψος
του
προς
τη
βάση
του
τριγώνου
είναι
12

μέτρα
ενώ
οι
δύο
ίσες
πλευρές

του
τριγώνου
είναι
2
μέτρα
μεγαλύτερες.
Μπορείς
να

βρεις
την
άλλη
πλευρά
του
τριγώνου;
Σχεδίασε
την
πλατεία
σε
χαρτί
μιλιμετρέ,
έτσι

ώστε
κάθε
μέτρο
να
αντιστοιχεί
σε
ένα
εκατοστό.
Μέτρησε
με
το
μοιρογνωμόνιό
σου

τις
γωνίες
του
τριγώνου
που
σχεδίασες.
Τί
τρίγωνο
είναι
ως
προς
τις
γωνίες
και
τις

πλευρές;
Για
να
εκτιμήσεις
την
περίμετρο
της
πλατείας
που
σχεδίασες:

-‐Περικύκλωσε
την
πλατεία
με
μια
κλωστή
και
μέτρησε
το
μήκος
της
κλωστής.

Αφού
έχεις
βρει
το
μήκος
όλων
των
πλευρών
του
τριγώνου,
επαλήθευσε
το

αποτέλεσμα
που
βρήκες
προηγουμένως.

Πρόσεξε
τις
μονάδες
μέτρησης.
Στο
σχέδιο
έχουμε
σαν
μονάδα
μέτρησης
το
εκατοστό,

ενώ
στην
πραγματικότητα
μετράμε
σε
μέτρα.

Υπόδειξη:

Το
εμβαδόν
τριγώνου
ισούται
με
το
γινόμενο
της
βάσης
επί
του
ύψους
του
τριγώνου

διά
του
δύο.


8

Εμβαδόν
Βάση
Ύψος

30
;
12

Βάση*
Ύψος
/2

;*
12
/2

;*6

Άρα
ψάχνω
ποιος
είναι
ο
αριθμός
που
αν
τον
πολλαπλασιάσω
με
το
έξι
θα
κάνει
30.

(
οι
μαθητές
της
Ε΄
τάξης
δεν
έχουν
μάθει
να
λύνουν
εξισώσεις
γι’
αυτό
τους

υποδεικνύουμε
τον
παραπάνω
πίνακα
για
να
διευκολυνθούν).

Σημείωση:

Ο
Θαλής
ο
Μιλήσιος
ήταν
αυτός
που
ανακάλυψε
ότι
οι
παρά
τη
βάση
γωνίες

ισοσκελούς
τριγώνου
είναι
ίσες.

Το
ήξερες
αυτό;

Ερατοσθένης
και
η
περιφέρεια
της
Γης

Ο
Ερατοσθένης
ήταν
από
τους
πρώτους
αρχαίους
Έλληνες
που
κατόρθωσε
να

μετρήσει
την
περιφέρεια
(και
κατ'
επέκταση
την
ακτίνα)
της
Γης,
με
καταπληκτική

ακρίβεια.
Ο
τρόπος
με
τον
οποίο
εργάστηκε,
δείχνει
τη
μεγαλοφυΐα
του.
Μια

πληροφορία,
η
μέτρηση
μιας
απόστασης
και
ένα
ραβδί,
ήταν
υπεραρκετά
για
τον


Μαθηματικά Ε΄ 7.44. ΄΄ Καθετότητα, ύψη τριγώνου ΄΄

Μαθηματικά Ε΄ 7.44. ΄΄ Καθετότητα, ύψη τριγώνου ΄΄

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Μαθηματικά Ε΄ 7.44. ΄΄ Καθετότητα, ύψη τριγώνου ΄΄

Similaire à Μαθηματικά Ε΄ 7.44. ΄΄ Καθετότητα, ύψη τριγώνου ΄΄ (20)

Plus de Χρήστος Χαρμπής

Plus de Χρήστος Χαρμπής (20)

Dernier

Dernier (20)

Μαθηματικά Ε΄ 7.44. ΄΄ Καθετότητα, ύψη τριγώνου ΄΄