Penerapan materi Metode Numerik, Matematika.

1. MAKALAH
KOMPARASI METODE INTERPOLASI POLINOMIAL
LAGRANGE DAN INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu Mata kuliah : Bambang Sumarno Hadi M., M.Kom
Oleh :
Yuni Embriani Dwi Utami
11305141027
KELAS B
PRODI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2013

2. BAB I
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang sering dibawa dalam
penyelesaian Matematika. Namun, tidak semua persoalan tersebut bisa memperoleh
penyelesaian yang akurat. Dari pendangan para rekayasawan, masih banyak penyelesaian
kasus Metematika yang dirasa masih terlalu sulit atau masih dalam bentuk yang kurang
konkret. Besari, Mohammad Sahari melalui Rinaldi Munir menyatakan, penyelesaian
analitik yang sering diberikan oleh kaum Matematika kurang berguna bagi rekayasawan,
karena ia harus dapat mentransformasikan solusi Matematika yang sejati ke dalam bentuk
berwujud yang biasanya meninggalkan kaidah sejatinya.
Salah satu kasus yang sering terjadi adalah saat para rekayasawan dan sejumlah
ahli lebih sering bekerja dengan sejumlah data diskret yang diperoleh dari penelitian.
Yaitu menentukan nilai di antara titik-titik diskret tersebut tanpa melakukan pengukuran
lagi. Salah satu solusinya yaitu dengan menari fungsi yang mencocokkan titik-titik data di
dalam tabel. Pendekatan seperti ini dalam metode numerik disebut Pencocokan Kurva.
Walaupun fungsi yang diperoleh dari cara ini adalah fungsi hampiran (nilainya hanya
mendekati nilai sejatinya) tapi cara ini sangat bermanfaat.
Munir, Rinaldi “Pencocokan kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik
data dengan sebuah kurva fungsi.” Salah satu metode dalam pencocokan kurva adalah
Interpolasi, dimana interpolasi sendiri biasa dipakai untuk data yang memiliki tingkat
ketelitian sangat tinggi. Dalam penyelesaian dengan interpolasi ini, fungsi cocokan yang
sering dipakai adalah polinom interpolasi, karena dengan bentuk ini fungsi yang awalnya
terlihat rumit menjadi lebih sederhana.
Merujuk pada persoalan Interpolasi Polinom, ada banyak jenis polinom yang
dipakai, namun pada makalah kali ini akan ditekankan pada pembahasan Polinom
Interpolasi Newton dan Polinom Interpolasi Lagrange.

3. BAB II
PEMBAHASAN
A. BENTUK UMUM POLINOM LAGRANGE
Kita mengingat kembali bentuk umum persamaan polinomial orde n, yaitu:
f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + ….. + an.xn
Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial orde n atau kurang yang melalui
semua titik.
Ilustrasi grafik :
Dari bentuk persamaan orde 1, yaitu yang menghubungkan 2 titik, bentuk
persamaannya
, dan persamaan ini dapat dimanipulasi menjadi
Bila kita misalkan a0 = y0 dan () = (
)
(
) maka bentuk persamaan p1(x)
menjadi

4. () = () +
() , yang juga familiar disebut sebagai polinom
Lagrange berorde 1. Dengan cara yang sama kita juga dapat menemukan bentuk
umum dari polinom Lagrange untuk orde n, yaitu :

5. () = () = () +
() + … + ()

6. Sebagai pengetahuan, penamaan polinomial ini didasarkan pada nama
penemunya yaitu Joseph Louis Lagrange yang dipublikasikan pada tahun 1795.
Meskipun sebenarnya pada tahun 1779 Edward Waring sudah membuat sebuah
formulasi yang serupa dengan formulasi Lagrange ini.
Polinom Lagrange tidak hanya berlaku untuk titik-titik yang berjarak sama, tapi
juga untuk titik-titik data yang berjarak tidak sama.
B. BENTUK UMUM POLINOM NEWTON
Sebuah polinom yang menyaingi Lagrange adalah polinom Newton. Polinom
ini sengaja dibuat karena kecenderungan orang-orang yang sulit untuk melakukan
komputasi berulang kali. Ide awal polinom Newton tetap sama seperti yang dipakai
pada polinom Lagrange. Perbedaannya adalah
=
pada persamaan polinom
biasa orde 1, diubah bentuk menjadi
= (
) ()
, yang dalam penulisannya
dapat ditulis
= [
, ].
Untuk polinom dengan orde lebih dari 1 (misal 2) jika dinyatakan dalam bentuk
polinom biasa adalah

7. () = +
( − ) + ( − )( −
)
Dalam kasus ini, nilai a0, a1, dan a2 merupakan representasi nilai selisih-terbagi
dengan nilai berturut-turut (), [
, ], [,
, ] , sehingga bentuk
umum polinom Newton dapat dinyatakan dalam bentuk :

8. () = () + ( − )[
, ] + ( − )( −
)[,
, ] + …
+ ( − )( −
) … ( − )[,
, … ,
, ]

9. C. KOMPARASI POLINOM LAGRANGE DENGAN POLINOM NEWTON
Dalam sebuah penelitian mengenai banyak cura hujan dan banyak polusi udara
yang hilang terbawa hujan didapat hasil sebagai berikut :
Curah hujan dalam satuan 0,01 cm
(x)
Debu yang Terbawa dalam
satuan mikrogram/m3 (y = f(x) )
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
146
130
121
117
109
102
Akan dipakai metode interpolasi Newton dan Lagrange untuk menaksir debu
yang terbawa (polusi yang hilang) pada curah hujan 3,8.
Penyelesaian dengan polinom Lagrange
Dari data diatas, nilai Lagrange dapat dihitung dengan cara manual ataupun
dengan sebuah aplikasi, salah satunya Matlab. Pada penyelesaian kali ini akan
langsung menerapkan program Matlab untuk perhitungannya.
Berikut adalah script M-file yang dipakai, dengan kode program lag1
clc;clear;
syms x;
disp('Program Interpolasi Lagrange')
disp('============================')
disp('by. Yuni Embriani D.U')
disp(' ')
%menginputkan banyaknya titik
b=input('Masukkan banyak titik (gunakan titik untuk angka desimal) = ');
%menginputkan masing-masing titik
for i=1:b
fprintf('x%d',i)
bx(i)=input(' = ');
fprintf('y%d',i)
by(i)=input(' = ');
end
%menampilkan titik-titik yang sudah diinputkan ke layar
disp('Titik-titik yang diketahui adalah sebagai berikut:');
for i=1:b
fprintf('(%d,%1.1f)',bx(i),by(i));
end

10. %inisialisasi fx
fx=0;
fprintf('nn');
disp('Nilai masing-masing L(x)');
% mulai proses pencarian q(x), qx1, lx, dan px
for i=1:b
%inisialisasi qx
qx=1;
%perulangan untuk mencari qx
for j=1:b
if (i~=j)
qx=qx*(x-bx(j));
end
end
%mencari qx1 dengan substitusi x ke gx
qx1=subs(qx,x,bx(i));
%mencari lx
lx=qx/qx1;
lx1=collect(lx);
%menampilkan lx
fprintf('L%d(x) = ',i);
disp(lx1);
%mencari fx
fx=fx+by(i)*lx;
end
%menyederhanakan f menjadi px dan menampilkan ke layar
px=collect(fx);
fprintf('Bentuk Umum polinom Lagrange nya = ');
disp(px);
disp('Masukkan nilai yang ingin ditaksir ')
c=input('c = ');
f=inline(px);
disp(['Maka nilai taksirannya adalah ' num2str(f(c))])
Berikut adalah hasil outputnya :

11. Penyelesaian dengan Polinom Newton
Dari tabel yang sudah diketahui di awal, yaitu
Curah hujan dalam satuan 0,01 cm
(x)
Debu yang Terbawa dalam
satuan mikrogram/m3 (y = f(x) )
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
146
130
121
117
109
102
Maka dapat dibuat program Matlabnya sebagai berikut :
Script M-File dengan nama program newton
disp('Program Interpolasi Newton');
disp('==========================');
disp(' ');
n=input('Masukkan jumlah titik = ');
x=zeros(1,n);
F=zeros(1,n);
for i=1:1:n
x(1,i)=input(['x(',num2str(i),')= ']);
F(1,i)=input(['F(',num2str(i),')= ']);
end;
disp(' ')
z=input('Masukkan nilai yang akan ditaksir = ');
eps=input('Epsilon/galat = ');
b(1,1)=F(1,1);
tic
pbagi=b(1,1);
factor=1;
for i=2:1:n
b(1,i)=F(1,i);
for j=i-1:-1:1

12. b(1,j)=(b(1,j+1)-b(1,j))/(x(1,i)-x(1,j));
end;
factor=factor*(z-x(1,i-1));
suku=b(1,1)*factor;
pbagi=pbagi+suku;
if (abs(suku) = eps)
break;
end;
end;
interpolasi=pbagi;
disp(' ');
disp(['Jadi nilai taksirannya adalah ' num2str(interpolasi)])
Berikut tampilan hasilnya :

13. BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Dari pembahasan tersebut dapat disimpulkan :
1. Jumlah komputasi Polinom Newton lebih sedikit dibanding dengan komputasi pada
Polinom Lagrange.
2. Taksiran galat untuk polinom Lagrange tidak dapat dihitung secara langsung karena
tidak tersedia rumus taksirannya.
DAFTAR PUSTAKA
Krisnawati. 2007. IMPLEMENTASI INTERPOLASI LAGRANGE UNTUK PREDIKSI
NILAI DATA BERPASANGAN DENGAN MENGGUNAKAN MATLAB. STMIK
AMIKOM Yogyakarta. Diakses melalui
http://p3m.amikom.ac.id/p3m/55%20-
%20IMPLEMENTASI%20INTERPOLASI%20LAGRANGE%20UNTUK%20PR
EDIKSI%20NILAI%20DATA%20BERPASANGAN%20DENGAN%20MENGG
UNAKAN%20MATLAB.pdf pada 17 Desember 2013 pukul 07:03 WIB.
Munir, Rinaldi. 2013. METODE NUMERIK Revisi Ketiga. Bandung : INFORMATIKA.